Курант Р. Геометрическая теория функций комплексной переменной. - 1-е изд. -Перевод с третьего немецкого издания. - М.-Л., ГТТИ, 1934. - 372 с.
Настоящая книга, написанная выдающимся немецким математиком Р.Курантом (1888--1972) и вошедшая в число классических работ математической литературы, посвящена теории функций комплексной переменной. При развитии теории функций автор опирается на геометрические представления, которые позволяют с большей легкостью, чем степенные ряды, обозреть поведение функции в целом. Цель книги - дать вводный обзор этой "геометрической теории функций". Книга будет полезна специалистам-математикам, преподавателям, студентам и аспирантам естественных вузов. Она может быть использована в качестве учебника по теории функций комплексной переменной.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение...... 5
Глава I. Предварительные понятия.
§ 1. Комплексные числа................................6
§ 2. Основные геометрические понятия ................10
§ 3. Криволинейные интегралы ........................22
Глава II. Основы теории аналитических функций.
§ 1. Условие дифференцируемости . . . ...............30
§ 2. Обратная функиия ................................36
§ 3. Определенный интеграл аналитической функции . . 38
§ 4. Теорема Коши..................................40
§ 5. Интегралы в многосвязных областях . . . . .... 48
§ 6. Примеры. Элементарные функции . . . . ..........51
§ 7. Интегральная формула Коши......................55
§ 8. Конформное отображение.......... . . . 60
Глава III. Следствия интегральной формулы Коши.
§ 1. Теорема о среднем арифметическом Принцип максимума и лемма Шварца.............64
§ 2. Некоторые неравенства. Теорема Лиувилля..........67
§ 3. Равномерная сходимость. Теорема Вейерштрасса .......—
§ 4. Ряды Тэйлора и Лорана ..................72
§ 5. Приложения теоремы Коши и теоремы о вычетах .......77
§ 6. Принцип сходимости для аналитических функций . . 88
§ 7. Связь с теорией потенциала ........................93
§ 8. Представление аналитических и гармонических функций интегралов Пуассона............95
§ 9. Следствия........................................99
§ 10. Решение предельной задачи теории потенциала для круга ..............102
§ 11. Граничные значения аналитической функции ..........107
§ 12. Потоки...................................114
Глава IV. Специальные функции и их особые точки.
§ 1. Особые точки и точки скрещивания................118
§ 2. Наглядное представление особых простейших точек и точек скрещивания...........123
§ 3. Линейные функции............... 128
§ 4. функция .................. 139
§ 5. Функция .............
§ 6. Логарифмическая и показательная функции . . .144
§ 7. Тригонометрические функции............145
§ 8. Степенная функция с произвольным показателем степени. Круговые двуугольники .........146
§ 9. Добавление. Геометрическое значение в пространстве линейных подстановок...... . . .... 149
Глав а V. Аналитическое продолжение и поверхности Римана.
§ 1. Понятие аналитического продолжения..............157
§ 2. Принцип непрерывности и принцип симметрии ........ 162
§ 3. Римановы поверхности аналитических функций ....... 167
§ 4. Алгебраические функции . ........ . . . . 177
Глава VI. Конформное отображение односвязных однолистных областей.
§ 1. Предварительные замечания и вспомогательные теоремы . . . ............. 186
§ 2. Доказательство теоремы Римана о конформном отображении .................191
§ 3. Теорема однозначности.............197
§ 4. Соответствие между контурами при конформном отображений...........199
§ 5. Функция Грина и предельная задача теории потенциала.......207
§ 6. Знакопеременная метода Шварца. Свойства непрерывности отображающих функций........ .209
§ 7. Теоремы искажения................................218
§ 8. Приложения принципа максимума . . .............227
Глава VII. Специальные конформные отображения.
§ 1. Отображение произвольного многоугольника . . . 231
§ 2. Функции прямолинейного треугольника ...... 235
§ 3. Отображение прямоугольника. Эллиптические функции 239
§ 4. Модулярные и автоморфные функции......242
§ 5. Теорема Пикара......................249
§ 6. Другое доказательство теоремы Пикара............251
§ 7. Отображение функции круговых многоугольников, как решение дифференциальных уравнений....254
Глава VIII. Обобщение теоремы Римана. Прницип Дирихле.
§ 1. Эвристические изыскания. Плоскость с надрезами .... 260
§ 2. Интеграл Дирихле и формула Грина .....264
§ 3. Принцип Дирихле.. .......267
§ 4 Постановка задачи в общем виде ....274
§ 5. Предельная задача и минимальный принцип для круга 277
§ 6. Леммы..............281
§ 7. Решение минимальной задачи для специальных областей.......
§ 8. Непрерывная зависимость потенциалов потока от области. Решение общей минимальной задачи ....293
§ 9. Конформное отображение на плоскость с надрезами ......296
§ 10. Единственность конформного отображения на плоскость с надрезами ........304
Глава IX. Дальнейшие теоремы существования теории функций.
§ 1. Analysis situs алгебраических Римановых поверхностей 306
§ 2. Абелевы интегралы и алгебраические функции на заданной Римановой поверхности........ 315
§ 3. Существование автоморфных функций с данной фундаментальной областью............. 326
§ 4. Униформизация алгебраических и аналитических функций посредством автоморфных функций с предельным кругом............ 336
§ 5 Конформное отображение подобных однолистных областей на круговые области. Теорема об унифор-мизации с возвратными сечениями ...... 347
§ 6. Модули области, подобной однолистной .......356
§ 7. Общее понятие Римоновой поверхности......359
§ 8. Исторические указания к последним главам......363
Предметный указатель............366
