Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. — 4-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1973.-749 с
Книга рассчитана на специалистов по прикладной математике, механике, физике, радио-, электро-, теплотехнике и других. Ее можно использовать также как учебное пособие при изучении анализа в университетах и высших технических учебных заведениях.
Наряду с кратким изложением теории, ориентированным на практические применения, она содержит большое число примеров и задач из разных областей математики и ее приложений.
Содержание
Из предисловия к первому изданию 6
Из предисловия ко второму изданию 7
Предисловие к четвертому изданию 8
Глава I. Основные понятия 9
§ 1. Комплексные числа 10
1. Комплексные числа (10). 2. Геометрическая иллюстрация (12).
§ 2. Функции комплексного переменного 16
3. Геометрические понятия (16). 4. Функции комплексного переменного (17). 5. Дифференцируемость и аналитичность (19).
§ 3. Элементарные функции 24
6. Функции w = zn и w = zx^n (24). 7. Функция Жуковского w = (z+l/z)/2 (29). 8. Показательная функция и логарифм (32). 9. Тригонометрические и гиперболические функции (36). 10. Общая степенная функция w = zP- (42).
§ 4. Интегрирование функций комплексного переменного 43
11. Интеграл от функции комплексного переменного (43). 12. Теорема Копій (45). 13. Распространение на многосвязные области (51). 14. Формула Копій и теорема о среднем (54). 15. Принцип максимума и лемма Шварца (56). 16. Равномерная сходимость (58). 17. Высшие производные (63).
§ 5. Представление аналитических функций рядами 65
18. Ряды Тейлора (66). 19. Степенные ряды (68). 20. Теорема единственности (72). 21. Ряды Лорана (74). 22. Особые точки (78). 23. Теорема о вычетах. Принцип аргумента (84). 24. Бесконечно удаленная точка (90). 25. Аналитическое продолжение. Обобщение понятия аналитической функции (93). 26. Римановы поверхности (99). Литература к главе I 104
Глава II. Конформные отображения 105
§ 1. Общие положения. Примеры 105
27. Понятие конформного отображения (106). 28. Основная задача (112). 29. Соответствие границ (115). 30. Примеры (122).
§ 2. Простейшие конформные отображения 128
31. Дробно-линейные отображения (128). 32. Частные случаи (135). 33. Примеры (140). 34. Отображения круговых луночек (148).
§ 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников 158
35. Принцип симметрии (158). 36. Примеры (164). 37. Отображение многоугольников (170). 38. Дополнительные замечания (176). 39. Примеры (183). 40. Скругление углов (192). Литература к главе II 197
Глава IIІ. Краевые задачи теории функций и их приложения 198
§ 1. Гармонические функции 199
41. Свойства гармонических функций (200). 42. Свойства гармонических функций (продолжение) (209). 43. Задача Дирихле (215). 44. Примеры. Дополнения (223). 45. Метод сеток (232).
§ 2. Физические представления. Постановка краевых задач 235
46. Плоское поле и комплексный потенциал (235). 47. Физические представления (245). 48. Краевые задачи (254). 49. Примеры. Приложения (261). 50. Плоская задача теории упругости (272). 51. Краевые задачи теории упругости (279).
§ 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи 286
52. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого (286). 53. Краевая задача Гильберта — Привалова (296). 54. Формула Келдыша — Седова (304). 55. Другие краевые задачи (310).
§ 4. Приложения 315
56. Уравнения с частными производными (315). 57. Задачи гидродинамики и газовой динамики (330). 58. Теория кумулятивного заряда (339). 59. Задачи теории упругости (349). Литература к главе III 357
Глава IV. Вариационные принципы конформных отображений 358
§ 1. Основные вариационные принципы 358
60. Основной вариационный принцип (358). 61. Распространение принципа (365). 62. Граничные производные (370).
§ 2. Отображения близких областей 375
63. Области, близкие к кругу (375). 64. Области, близкие к данной (382). 65. Распространение результатов (385).
§ 3. Приложения 393
66. Пересчет подъемной силы (393). 67. Волны в тяжелой жидкости (398). 68. Обтекание со срывом струй (404). 69. Движение грунтовых вод (406).
Литература к главе IV 414
Часть 1
Глава V. Приложения теории функций к анализу 415
§ 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения 415
70. Ряды Тейлора и Лорана (415). 71. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (425). 72. Разложение целых функций в бесконечные произведения (431).
§ 2. Приложения теории вычетов 438
73. Вычисление интегралов (438). 74. Вычисление интегралов (продолжение) (447). 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости (454).
§ 3. Методы асимптотических оценок 470
76. Асимптотические разложения (470). 77. Метод перевала (477). 78. Метод производящих функций (486).
Литература к главе V 491
Глава VI. Операционный метод и его приложения 492
§ 1. Основные понятия и методы 494
79. Преобразование Лапласа (494). 80. Свойство преобразования Лапласа (504). 81. Теоремы умножения (509). 82. Теоремы разложения (515). 83. Примеры. Дополнения (520).
§ 2. Приложения 541
84. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (541). 85. Расчет электрических контуров (548). 86. Уравнения с частными производными (557). 87. Расчет длинных линий (568). 88. Другие интегральные преобразования (574).
Литература к главе VI 587
Глава VII. Специальные функции 588
§ 1. Гамма-функция Эйлера 588
89. Определение и основные свойства (588). 90. Примеры. Дополнения (598).
§ 2. Ортогональные многочлены 604
91. Ортогональные системы функций (604). 92. Ортогональные многочлены (610). 93. Выражение через вес. Производящие функции (616). 94. Примеры. Приложения (624).
§ 3. Цилиндрические функции 637
95. Цилиндрические функции первого рода (638). 96. Другие цилиндрические функции (648). 97. Асимптотические выражения для цилиндрических функций (657). 98. Графики цилиндрических функций. Распределение нулей (664). 99. Примеры. Приложения (670).
§ 4. Эллиптические функции 682
100. Периодические функции (682). 101. Общие свойства эллиптических функций (688). 102. Эллиптические интегралы и функции Якоби (694). 103. Функции Вейерштрасса. Тэта-функции (703). 104. Примеры. Приложения (715).
Литература к главе VII 727
Часть 2
