Леонтьева Т. А. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М., 2004, 216с., 53 илл.
Лекции по теории функций комплексного переменного рассчитаны на читателя, знакомого с основным курсом математического анализа в объеме, например, учебника «Основы математического анализа», часть П, В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Данный курс состоит из 18 лекций. Рассматриваются такие фундаментальные понятия, как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость функций комплексного переменного. Изучаются вопросы теории аналитических и гармонических функций и применение этой теории к конформным отображениям. Изучение свойств гармонических функций и их разложение в ряды Фурье согласуется с изложением теории рядов Фурье в курсе математического анализа. Рассмотрены также вопросы операционного исчисления и его связь с решениями дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Лекции содержат около 50 задач теоретического характера.
Данное пособие будет полезно также студентам и аспирантам технических университов и вузов, изучающих курс ТФКП.
Оглавление
Предисловие........................ 6
1 Комплексные числа и их свойства.
Множества на комплексной плоскости................ 9
2 Функции комплексного переменного. Непрерывность и дифференцируемость. Геометрический смысл аргумента и модуля производной.................................... 21
3 Элементарные функции комплексного переменного. Интегрирование функций комплексного переменного. Интегральная теорема Коши............................ 34
4 Интегральная формула Коши. Интеграл типа Коши. Теорема Морера...................49
5 Гармонические функции. Принцип максимума модуля аналитической функции. Принцип максимума гармонической функции........ 62
6 Числовые и функциональные ряды..................... 71
7 Теорема единственности аналитических функций. Разложение гармонических функций в ряды......... 84
8 Многозначные функции. Аналитическое продолжение............................ 91
9 Аналитическое продолжение через границу области и через разложение в степенные ряды. Понятие поверхности Римана...........................100
10 Ряды Лорана. Изолированные особые точки...........................109
11 Вычет аналитической функции. Теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью теоремы о вычетах............................121
12 Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше......................132
13 Конформные отображения. Основные принципы конформных отображений......140
14 Дробно-линейное невырожденное преобразование и его свойства...................148
15 Конформные отображения, осуществляемые функцией Жуковского, элементарными функциями (zn, ez, cos z, tg z).........157
16 Задача Дирихле для оператора Лапласа...............166
17 Интеграл Лапласа и его основные свойства...........179
18 Применение преобразования Лапласа решению дифференциальных уравнений в частных производных....192
Биографические справки................203
Список литературы...................206
Предметный указатель.................208
