Курош А.Г. Теория групп. - 3-е изд. - М., 1967. - 648 с.
Книга занимает весьма заметное место в мировой теоретико-групповой литературе, в ней представлены почти все основные части теории групп. Материал излагается от простейших начальных определений теории до серьезных результатов второй половины XX века. Первое издание вышло в 1944 г., второе, по существу являвшееся новой книгой, - в 1953 г. В третьем издании (1967 г.) содержание предыдущего было объединено с некоторыми материалами из первого, также был добавлен раздел "Развитие теории бесконечных групп за 1952-1965 гг.". Книга неоднократно переводилась на иностранные языки. Как и другие работы А. Г. Куроша, "Теория групп" отличается строгостью и ясностью изложения.
Может служить учебником для студентов и аспирантов математических специальностей, изучающих теорию групп, а также справочником для математиков, работающих в этой области.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию............................9
Из введения к первому изданию............................................13
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП
Глава первая. Определение группы..................................15
§ 1. Алгебраическая операция......................................15
§ 2. Изоморфизм. Гомоморфизм....................................19
§ 3. Группа ......................................................22
§ За. Аксиоматика Бэра и Леви......................................27
§ 4. Примеры групп................................................33
Глава вторая. Подгруппы..........................................37
§ 5. Подгруппы....................................................37
§ 6. Системы образующих. Циклические группы..................40
§ 7. Возрастающие последовательности групп......................45
Глава третья. Нормальные делители................................50
§ 8. Разложения группы по подгруппе..............................50
§ 9. Нормальный делитель........................................54
§ 10. Связь нормальных делителей с гомоморфизмами и фактор-группами 60
§ 11. Классы сопряженных элементов и сопряженных подгрупп .... 66
§ 11 а. Группы подстановок..........................................71
§ 11 б. Основные понятия теории колец ..............................74
Глава четвертая. Эндоморфизмы и автоморфизмы. Группы с операторами 77
§ 12. Эндоморфизмы и автоморфизмы................................77
§ 13. Голоморф. Совершенные группы..............................80
§ 14. Характеристические и вполне характеристические подгруппы . . 84
§ 15. Группы с операторами......................................90
Глава пятая. Ряды подгрупп. Прямые произведения. Определяющие соотношения ................................................95
§ 16. Нормальные и композиционные ряды..........................95
§ 17. Прямые произведения..........................................100
§ 18. Свободные группы. Определяющие соотношения................106
ЧАСТЬ ВТОРАЯ АБЕЛБВЫ ГРУППЫ
Глава шестая. Основы теории абелевых rpупп........................114
§ 19. Ранг абелевой группы. Свободные абелевы группы................114
§ 20. Абелевы группы с конечным числом образующих................120
§ 21. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы......................125
§ 22. Абелевы группы с операторами................................130
§ 22а.Теория Тейхмюллера ........................................133
Глава седьмая. Примарные и смешанные абелевы группы..............138
§ 23. Полные абелевы группы......................................138
§ 24. Прямые суммы циклических групп............................143
§ 25. Сервантные подгруппы .............................148
§ 26. Примарные группы без элементов бесконечной высоты............153
§ 27. Ульмовские факторы. Теорема существования................158
§ 28. Теорема Ульма................................................163
§ 29. Смешанные абелевы группы..................................171
Глава восьмая. Абелевы группы без кручения........................175
§ 30. Группы ранга 1. Типы элементов группы без кручения............175
§ 31. Вполне разложимые группы..................................179
§ 32. Другие классы абелевых групп без кручения ..................184
§ 32а.Поле р-адических чисел ......................................187
§ 32б.Группы конечного ранга без кручения..........................193
§ 32в. Дополнения и приложения результатов предшествующего параграфа 199
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Глава девятая. Свободные произведения и свободные группы..........204
§ 33. Определение свободного произведения..........................204
§ 34. Подгруппы свободного произведения..........................211
§ 35. Изоморфизм свободных разложений. Свободные произведения
с объединенной подгруппой......................................219
§ 36. Подгруппы свободных групп..................................225
§ 37. Вполне характеристические подгруппы свободных групп. Тождественные соотношения ........................................233
§ 37а. Локально свободные группы ..................................239
Глава десятая. Группы с конечным числом образующих..............245
§ 38. Общие свойства групп с конечным числом образующих..........245
§ 39. Теорема Грушко ..........................................251
§ 40. Теорема Грушко (окончание)..................................255
§ 41. Группы с конечным числом определяющих соотношений .... 261
Глава одиннадцатая. Прямые произведения. Структуры............267
§ 42. Предварительные замечания ..................................267
§ 43. Структуры....................................................271
§ 44. Дедекиндовы и вполне дедекиндовы структуры..................276
§ 45. Прямые суммы во вполне дедекиндовых структурах..............282
§ 46. Вспомогательные леммы ......................................289
§ 47. Основная теорема ............................................295
§ 47а. Прямое доказательство теоремы Шмидта. Некоторые другие теоремы 299
§ 476.Группы с изоморфными структурами подгрупп..................307
Глава двенадцатая. Расширения групп............................315
§ 48. Системы факторов ............................................315
§ 49. Расширения абелевых групп. Группы гомологий................319
§ 50. Вычисление второй группы гомологий..........................323
§ 51. Расширения некоммутативных групп............................328
§ 52. Частные случаи ..............................................334
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ РАЗРЕШИМЫЕ И НИЛЬПОТЕНТНЫЕ ГРУППЫ
Глава тринадцатая. Условия конечности, силовские подгруппы и
смежные вопросы..................................................337
§ 53. Условия конечности ..........................................337
§ 54. Силовские подгруппы. Центры р-групп........................342
§ 55. Локальные свойства ..........................................350
§ 56. Нормальные и инвариантные системы............................354
Глава четырнадцатая. Разрешимые группы . . . ..............361
§ 57. Разрешимые и обобщенные разрешимые группы..................361
§ 58. Локальные теоремы. Локально разрешимые группы..............364
§ 59. Наложение условий конечности................................369
§ 60. Силовские П-подгруппы разрешимых групп....................373
§ 61. Конечные полупростые группы................................379
Глава пятнадцатая. Нильпотентные группы......................386
§ 62. Нильпотентные и конечные нильпотентные группы..............386
§ 63. Обобщенные нильпотентные группы............................391
§ 64. Связи с разрешимыми группами, д^-группы. Наложение условий
конечности..........................^ 398
§ 65. Полные нильпотентные группы................................403
§ 66. Группы с однозначным извлечением корня .... ..............410
§ 67. Локально нильпотентные группы без кручения.............414
Заключение к первому изданию..................... 423
ДОПОЛНЕНИЕ
РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП ЗА 1952—1965 гг.
Предисловие .............................. 433
Часть первая. Основы теории групп................ 434
§ Д.1. Группы, подгруппы .................... 434
1. Определение группы (434). 2. Подгруппы (435). 3, Системы образующих. Циклические группы (436).
§ Д.2. Гомоморфизмы. Нормальные делители............. 437
1. Гомоморфизмы (437). 2. Прямые и обратные спектры (437). 3. Разложения группы по подгруппе (439). 4. Простые группы (439). 5. Нормальные ряды (439). 6. Достижимые подгруппы (439).
§ Д.З. Автоморфизмы. Характеристические подгруппы ....... 440
1. Эндоморфизмы и автоморфизмы (440), 2. Голоморф. Совершенные группы (441). 3, Некоторые характеристические подгруппы (442).
4. Вербальные и маргинальные подгруппы; гиперхарактеристические и ультрахарактеристические подгруппы (443). 5. Обобщенные эндоморфизмы и автоморфизмы (444). 6. Связка соответствий, почти-кольцо преобразований (445).
§ Д.4. Группы с мультиоператорами................ 447
1. Группы с полугруппой и с группой операторов (447). 2. Мульти-операторные группы (447). 3. Простейшие свойства мультиоператорных групп (448). 4. Идеалы (448). 5. Взаимный коммутант (449).
Часть вторая. Теоретико-групповые конструкции..............450
§ Д.5. Прямые произведения ................... 450
1. Простейшие свойства (450). 2. Существование общего продолжения (451). 3. Изоморфизмы прямых разложений (452). 4. Теория Бэра (452).
5. Другие теоремы об изоморфизмах прямых разложений (454).
§ Д. 6. Полные прямые и под прямые произведения.......... 455
1. Полные прямые произведения (455). 2. Подпрямые произведения
(457).
§ Д.7. Свободные произведения .................. 458
1. Теорема о подгруппах (458). 2. Другие свойства свободных произведений (458). 3. Связь прямых и свободных произведений (459). 4. Полные свободные произведении (460). 5. Случай операторных и мультиоператорных групп (460).
§ Д.8. Амальгамы групп . ..................... 461
1. Свободные произведения с объединенной подгруппой (461). 2. Вложения амальгам в группы (462).
§ Д.9. Свободные группы ..................... 464
1. Подгруппы свободных групп (464). 2. Нормальные делители свободных групп (465). 3. Примитивные элементы (466). 4. Автоморфизмы и эндоморфизмы свободных групп (466). 5. Уравнения в свободных группах (467). 6. Обобщения свободных групп (467).
§ д.10. Многообразия и их свободные группы........... 468
1. Многообразия групп (468). 2. Свободные группы многообразий (469). 3. Структура многообразий (470). 4. Полугруппа многообразий (471). 5. Многообразия, порождаемые конечной группой (471). 6. Дальнейшее изучение свободных групп многообразий (472).
§ Д. 11. Точные операции в классе групп.............. 474
1. Точные операции (474). 2. Основные постулаты (474). 3. Правильные операции (476). 4. Вербальные произведения (476). 5. Некоторые свойства нильпотентных и разрешимых произведений (477). 6. Поливербальные операции (478), 7. Некоторые другие операции (479). 8. Обоб-ш;ения (480),
§ Д.12. Расширения. Сплетения .................. 480
1. Расширения (480). 2. Подобие расширений (481). 3. Сплетения (482). 4. Некоторые свойства стандартных сплетений (483).
§ Д.13. Некоторые другие конструкции .............. 484
1. Полупрямые произведения (484). 2. Обилие произведения (484). 3, Косые произведения (486). 4. Факторизации (486). 5. Факторизации в смысле Хайоша (488). 6. Цепные произведения (488).
§ Д. 14. Структуры подгрупп, структурные изоморфизмы...... 488
1. Постановка задач (488). 2. Группы, структуры подгрупп которых обладают некоторыми заданными свойствами (489). 3. Структурные изоморфизмы (490). 4. Структурные изоморфизмы абелевых и нильпотентных групп (490). 5. Группы с дуальными структурами подгрупп (491).
6. Некоторые другие структуры, связанные с группой (491).
Часть третья. Некоторые классы групп.............493
§ Д. 15. Конечнопорожденные и конечноопределенные группы..... 493
1. Конечнопорожденные группы (493). 2. Конечноопределенные группы (494). 3. Подгруппы конечноопределенных групп (495). 4. Алгоритмические исследования (496).
§ Д. 16. Периодические группы .................. 497
1. Проблема Бернсайда о периодических группах (497). 2. Ограниченная проблема Бернсайда (497). 3. Изучение бернсайдовых групп (498). 4. Ослабленная проблема Бернсайда (498), 5. Локально конечные группы (499). 6. Универсальная счетная локально конечная группа (500).
7. Локально нормальные группы (500). 8. Дисперсивные группы (500),
§ Д. 17. Группы с другими условиями конечности.......... 501
1. Вступление (501). 2. Группы с условием минимальности для подгрупп (501). 3. Группы с условием минимальности для нормальных делителей (501). 4. Другие условия минимальности (502). 5. Нётеровы группы (503). 6. Группы с конечными классами сопряженных элементов (503). 7. Частные тины FC-rpynn (505). 8. Группы с конечным числом классов сопряженных элементов (505). 9. Финитно аппроксимируемые группы (506).
§ Д. 18. Силовские подгруппы; р-группы.............. 507
1. Силовские р-подгруппы (507). 2. Силовские П-подгруппы (508). 3. Силовские и холловские базы (509). 4. Регулярные р-группы (510).
§ Д,19, Группы без кручения. Полные группы. Покрытия...... 510
1. П-полные группы, Пі?- и П1?-группы (510). 2. Свободные Пі)-груп-пы (511). 3. Другие результаты о полных группах (512). 4. Пополнения (512). 5. Уравнения в группах (513). 6. Покрытия (514). 7. Расщепления (514).
§ Д.20. Радикалы ......................... 515
1. Радикалы в классе всех групп (515) 2. Минимальный радикальный класс над данным классом групп (517). 3. Минимальный полупростой класс над данным классом групп (517). 4. Некоторые примеры (518). 5. Радикалы в данном классе групп (519). 6. Другие подходы к понятию радикала (519).
§ Д.21. Свойства классов групп.................. 520
1. Обилие замечания (520). 2. Простейшие свойства (520). 3. Исследования Бэра (521). 4. Функционалы, теоретико-групповые функции (522). 5. Еш;е одна схема нильпотентности и разрешимости (523).
§ Д.22. Группы автоморфизмов, групповые пары.......... 523
1. Групповые пары (523). 2. Категория групповых пар (524). 3. Стабильные группы автоморфизмов (525). 4. Г-центральные ряды (526). 5. Некоторые подгруппы группы автоморфизмов (526). 6. Треугольные группы автоморфизмов (527)
Часть четвертая. Разрешимые и нильпотентные группы....... 528
§ Д.23. Обобщенные разреБ1имые группы............. 528
1. Некоторые обилие свойства (528). 2. Локально разрешимые группы (529). 3. Группы, радикальные в смысле Плоткина (530). 4. RN*- и Л/*-группы (530). 5. Возрастающие ряды коммутантов (531).
§ Д.24. Разрешимые группы.................... 531
1. Разрешимые Ai-группы (531). 2. Группы автоморфизмов разрешимых Ai-групп (532). 3. Другие свойства нётеровых разрешимых групп (532). 4. Двуступенно разрешимые группы (533). 5. Свободные разрешимые группы (534). 6. Полинильпотентные группы (535). 7. Некоторые обобщения (536).
§ Д.25. Обобщенные нильпотентные группы............. 536
1. Локально нильпотентные группы (536). 2. Локально нильпотентные группы без кручения (537). 3. Группы с нормализаторным условием (538). 4. ZA-группы (538), 5. ZD-группы (539). 6. Длины нижних и верхних центральных рядов (540). 7. Z-группы (540).
§ Д.26. Энгелевы группы ..................... 540
1. Энгелевы группы, энгелевы элементы (540), 2. Связи энгелевости с нильпотентностью (541). 3. Энгелевы элементы и локально нильпотентный радикал (541). 4. Энгелевы и субинвариантные элементы (542). 5. Квази-нильпотентные группы, нильгруппы (543). 6. Обобщения (544).
§ Д.27. Нильпотентные группы................... 544
1. Некоторые отдельные результаты (544). 2. Конечнопорожденные нильпотентные группы (545). 3. Свободные нильпотентные группы (546). 4. Подгруппа Фраттини (547). 5. Нильпотентность подгруппы Фраттини (548).
Часть пятая. Абелевы группы ................... 549
§ Д.28. Основы теории абелевых групп................... 549
1. Введение (549). 2. Прямые суммы циклических групп (549), 3. Абелевы группы, близкие к прямым суммам циклических групп (551). 4. Полные абелевы группы (551). 5. Вполне разложимые группы (552). 6. Системы образующих (553),
§ Д.29. Прямые слагаемые. Сервантные и высокие подгруппы..... 553
1. Прямые слагаемые (553). 2. Сервантные подгруппы (554). 3. Обобщения сервантности (555). 4. Высокие подгруппы (556). 5. Алгебраически компактные группы (557).
§ Д.30. Примарныё абелевы группы................. 557
1. Базисные подгруппы (557). 2. Примарные группы без элементов бесконечной высоты (559). 3. Ульмовские инварианты (560). 4. m-неразложимые группы (560).
§ Д.31. Абелевы группы без кручения............... 561
1. Группы конечного ранга без кручения (561). 2. Неразложимые группы (562). 3. Изоморфизмы прямых разложений (562). 4. Вполне
разложимые группы (563). 5. Полные прямые суммы групп ранга 1 (564). 6. Узкие группы (565). 7. Другие вопросы (565).
§ Д.32. Смешанные абелевы группы................ 566
1. Расщепление смешанных абелевых групп (566). 2. Условия расщепления данной группы (567). 3. Смешанные группы ранга 1 (567).
§ Д.33. Операции Ext, Ноm, тензорное умножение и Тоr....... 568
1. Группа Ext (568). 2. Другие результаты о группе Ext (569). 3. B-группы, W-группы (569). 4. F-группы, копериодические группы (570). 5. Группа Ноm (570). 6. Тензорное произведение (571). 7. Группа Гротендика абелевых групп без кручения конечного ранга (572). 8. Группа Тоr (572).
§ Д.34. Эндоморфизмы и автоморфизмы абелевых групп....... 573
1. Кольца эндоморфизмов (573). 2. Группы эндоморфизмов (574). 3. Группы автоморфизмов (574). 4. Мощности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов (575).
§ Д.35. Другие направления в теории абелевых групп......... 575
1. Эпиморфные и эндоморфные образы (575). 2. Некоторые теоремы о Мощностях(576).'3.' Обобщения ' изоморфизма (577). 4. Другие работы (577).
ДК. Дополнительные замечания при корректуре.............. 578
Указатель литературы ......................... 581
Именной указатель ........................... 637
