Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики.- М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
Книга является несколько расширенным изложением лекций, читаемых автором в течение двадцати с лишним лет студентам IV курса математико-механического и физического факультетов ЛГУ, В ней рассмотрены основные краевые задачи для линейных уравнений второго порядка эллиптического, параболического и гиперболического типов и типа Шредингера, а также для некоторых классов систем таких уравнений. Коэффициенты уравнений зависят от точки области, в которой находятся решения, причем область может иметь произвольную форму. Исследования ведутся в классах обобщенных решений.
Книга рассчитана на студентов старших курсов университетов и, технических вузов и на математиков разных специальностей, желающих познакомиться с одним из главных отделов теории уравнений в частных производных — решением и исследованием краевых задач .(стационарных и нестационарных). Она будет полезна также вычислителям и инженерам, которые найдут в ней изложение различных приближенных методов решения краевых задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .....................5
Список обозначений ..................................23
Глава I. Вспомогательные предложения........29
§ 1. Нормированные' пространства и пространства Гильберта ...................29
§ 2. Общие сведения о линейных функционалах и линейных ограниченных операторах в гильбертовых пространствах ....34
§ 3. О неограниченных операторах..........39
§ 4. Обобщенные производные и усреднения ......45
§ 5. Определение пространств W.....54
§ б. Пространства и (Q) и их основные свойства 61
§ 7. Мультипликативные неравенства для элементов пространств W . .........77
§ 8. Теоремы вложения для пространств W 83
Глава II. Уравнения эллиптического типа...........88
§ 1. Постановка краевых задач. Описание основного материала, излагаемого в этой главе.........88
§ 2, Обобщенные решения из W (Q). Первое (энергетическое) неравенство..............91
§ 3. Исследование разрешимости задачи Дирихле в пространстве Wl (Q) (три теоремы Фредгольма) ..... 96
§ 4. Теоремы разложения по собственным функциям симметрических операторов ............107
§ 5. Вторая и третья краевые задачи.........112
§ б. Второе основное неравенство для эллиптических операторов ...................116
§ 7. Разрешимость задачи Дирихле в пространстве (Q)..... 125
§ 8. Приближенные методы решения краевых задач ... 134
Глава III. Уравнения параболического типа.......146
§ 1. Постановка начально краевых задач и задачи Коши .....147
§ 2. Первая начально-краевая задача для уравнения теплопроводности .................153
§ 3. Первая начально-краевая задача для параболических уравнений общего вида............165
§ 4. Другие краевые задачи, метод Фурье и Лапласа, второе основное неравенство ...........171
§ 5. Метод Роте.................189
Глава IV. Уравнения гиперболического типа.......196
§ 1. Общие сведения о гиперболических уравнениях. Постановка основных задач ............ 196
§ 2. Энергетическое неравенство. Конечность скорости распространения возмущений. Теорема единственности для решений из W................201
§ 3. Первая начально-краевая задача. Разрешимость в W ..................209
§ 4. Об исследовании гладкости обобщенных решений ...... 216
§ 5. О других начально-краевых задачах.......225
§ 6. Функциональный метод решения начально-краевых задач ....................227
§ 7. Метод Фурье и Лапласа...........234
Глава V. Разные обобщения.............243
§ 1. Эллиптические уравнения произвольного порядка и сильно эллиптические системы .........243
§ 2. Сильно параболические и сильно гиперболические системы ..................251
§ 3. Уравнения типа Шредингера и близкие к ним уравнения .................. . . 258
§ 4. О задачах дифракции ............260
Глава VI. Метод конечных разностей ......... 268
§ 1. Общее описание метода конечных разностей и некоторые принципы построения сходящихся разностных схем .......268
§ 2. Основные разностные операторы и их свойства . . . 278
§ 3. Восполнения сеточных функций. Простейшие теоремы вложения ..................284
§ 4. Общие теоремы вложения...........294
§ 5. Основы конечно-разностного метода Фурье .... 302
§ 6. Простейшие уравнения............309
§ 7. Задача Дирихле для общих эллиптических уравнений 2-го порядка ................338
§ 8. Задача Неймана и третья краевая задача для эллиптических уравнений..............345
§ 9. Уравнения параболического типа........352
§ 10. Уравнения гиперболического типа........367
§ 11. Сильная сходимость, системы, задачи дифракции . . 385
§ 12. Аппроксимациоиные методы..........395
Литература ................... 402
