Лаптев Г.И., Лаптев Г.Г. Уравнения математической физики. - М.: 2003.
Пособие ориентировано на активное овладение предметом, поэтому большое внимание уделяется детальному решению и разбору учебных примеров и задач. При написании книги авторы использовали учебную литературу по уравнениям математической физики, указанную в списке литературы. Необходимо отметить, что наибольшее влияние на книгу оказали следующие учебники: Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.; Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1995. 224 с.
Оглавление
Предисловие ..........................................3
Глава 1. Эволюционные уравнения с двумя переменными ...........................6
1.1. Простейшие уравнения с частными производными.............6
1.2. Приведение уравнений второго порядка с двумя переменными к каноническому виду...........10
1.3. Уравнение колебаний струны ....................................................16
1.4. Задача Коши для уравнения колебаний струны ..............19
1.5. Метод бегущих волн для струны ............................................26
1.6. Примеры краевых задач на собственные значения ...............35
1.7. Колебания ограниченной струны ............................................39
1.8. Уравнение теплопроводности для бесконечного стержня .........................45
1.9. Распространение тепла в конечном стержне ......................49
1.10. Колебания прямоугольной мембраны..................................56
Глава 2. Уравнения в полярной системе координат .. 63
2.1. Уравнение Лапласа в кольце.................................................63
2.2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге и во внешности круга ................67
2.3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце...................72
2.4. Уравнение Пуассона в кольце....................................................76
2.5. Цилиндрические функции ..........................................................82
2.6. Рекуррентные формулы для цилиндрических функций ..................................86
2.7. Уравнение Гельмгольца в круге ..............................................91
2.8. Уравнение теплопроводности в круге для случая радиальной симметрии ..............97
2.9. Колебания круглой мембраны для случая радиальной симметрии ..........104
2.10. Уравнение теплопроводности в цилиндре для случая радиальной симметрии ...............109
Глава 3. Уравнения в сферической системе координат .......................................116
3.1. Функции Лежандра ....................................116
3.2. Уравнение Лапласа в шаровом слое для случая радиальной симметрии .............. 123
3.3. Общий случай уравнения Лапласа в шаровом слое----126
3.4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в шаровом слое ...................131
3.5. Пример решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаровом слое ......135
3.6. Формула решения волнового уравнения в пространстве .......................... 139
3.7. Задача Коши для волнового уравнения в пространстве ......................... 144
3.8. Решение задачи Коши для волнового уравнения на плоскости ....................149
Глава 4. Функция Грина краевой задачи...............155
4.1. Формулы Грина для оператора Лапласа .............. 155
4.2. Интегральное представление дифференцируемых функций ....................159
4.3. Гармонические функции и их свойства ................163
4.4. Задача Дирихле для уравнения Пуассона .............167
4.5. Примеры построения функции Грина .................171
Глава 5. Основы общей теории уравнений с частными производными ..................177
5.1. Метрические пространства ............................ 177
5.2. Нормированные пространства .........................184
5.3. Линейные операторы и функционалы в банаховом пространстве ...................... 189
5.4. Обобщенные функции конечного порядка .............196
5.5. Дифференцирование обобщенных функций ...........204
5.6. Гильбертовы пространства ............................209
5.7. Пространство L2(Q) ....................................218
5.8. Пространство Соболева W(Q) ........................223
5.9. Существование решений краевых задач ...............228
Глава 6. Глобальные решения дифференциальных уравнений и неравенств ......................234
6.1. Глобальные решения дифференциальных уравнений ..235
6.2. Отсутствие глобальных решений некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений и неравенств ........245
6.3. Глобальные решения эллиптических дифференциальных неравенств с частными производными.....250
6.4. Отсутствие решений эволюционных дифференциальных неравенств высокого порядка ..............277
Глава 7. Некоторые приложения ........................300
7.1. Моделирование процесса самовозгорания угля ........300
7.2. Фильтрация воздуха в выработанном пространстве ... 305
7.3. Массоперенос углекислого газа в массиве и вентиляционных потоках .....................311
7.4. Газовыделение из осушенных угольных пластов.......316
7.5. Задачи .................................................320
Библиографический список................................322
