Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. - М.: АН СССР, 1962.
В предлагаемой вниманию читателей монографии автор излагает принципиально иной подход к задачам существования и устойчивости для различных классов краевых задач теории уравнений математической физики. Этот подход опирается на ряд геометрических свойств конформных и квазиконформных отображений и использует общую принципиальную схему решения вариационных задач, выдвинутую впервые Д. Гильбертом и широко развитую Л. Тонелли.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................3
Введение........................................................5
1. Вариационный принцип......................................5
2. Достаточные условия........................................6
3. Обобщения............................................10
Глава I. Вариационные принципы теории конформных отображений ...........11
1. Принципы Линделёфа и Монтеля............................12
2. Механическая интерпретация................................16
3. Количественные оценки......................................17
Глава II. Поведение конформного отображения на границе. . . 21
1. Граничные производные......................................21
2. Узкие полосы................................................24
3. Поведение растяжения в точках экстремального наклона и экстремальной кривизны...........30
Глава III. Гидродинамические приложения.......... . 35
1. Струйные течения............................................35
2. Обобщения....................................................37
3. Обтекание со срывом струй..................................38
4. Волновые движения жидкости................................42
5. Теория волн в линейной постановке..........................43
6. Волны Релея..................................................47
7. Точная теория................................................56
8. Обобщения....................................................60
Глава IV. Квазиконформные отображения......................63
1. Понятие квазиконформного отображения......................63
2. Производные системы........................................69
3. Сильная эллиптичность......................................73
Глава V. Линейные системы.................. 79
1. Отображения с ограниченным искажением . .................79
2. Простейший класс линейных систем..........................86
Глава VI. Простейший класс нелинейных систем................105
1. Принцип максимума .........................106
2. Принцип Шварца—Линделбфа................................107
3. Количественные уточнения....................................113
4. Индуктивное доказательство принципа Линделёфа............118
5. Теорема существования......................................122
6. Обобщения....................................................125
7. Гидродинамические приложения..............................127
Литература ..................................................131
