Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1976.
В книге рассматриваются основные краевые задачи для эллиптических и задача Коши и смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Широко используется понятие обобщенного решения.
Для чтения книги достаточно владеть основами математики в размере программы первых двух курсов механико-математических или физических факультетов университетов или втузов с повышенной математической подготовкой; все необходимые сведения из функционального анализа и теории функциональных пространств, в частности, теоремы вложения Соболева, в книге излагаются.
Книга является расширенным изложением курса лекций, читавшихся автором студентам третьего курса Московского физико-технического института.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................... 5
Глава I. Введение. Классификация уравнений. Постановка некоторых задач............. 7
§ 1. Задача Коши. Теорема Ковалевской............... 10
1. Постановка задачи Кошн (10). 2. Аналитические функции нескольких переменных (19). 3. Теорема Ковалевской (21).
§ 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка.............................. 29
§ 3. Постановка некоторых задач.................... 33
1. Задачи о равновесии и движении мембраны (33). 2. Задача о распространении тепла (38)................................
Задачи к главе I................................ 40
Глава II. Интеграл Лебега и некоторые вопросы функционального анализа .............. 41
§ 1. Интеграл Лебега ....................................................41
§ 2. Линейные нормированные пространства. Гильбертово пространство .................63
§ 3. Линейные операторы. Компактные множества. Вполне непрерывные операторы.........72
§ 4. Линейные уравнения в гильбертовом пространстве..............86
§ 5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы................95
Глава III. Функциональные пространства................ 102
§ 1. Пространства непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций ............102
§ 2. Пространства интегрируемых функций ............................105
§ 3. Обобщенные производные............................................112
§ 4. Пространства Hk (Q)................................................122
§ 5. Свойства функций из Н2 (Q)............... 136
§ 6. Свойства функций из Hk (Q).................... 150
§ 7. Пространства ...............156
§ 8. Примеры операторов в функциональных пространствах .... 162
Задачи к главе III............................ 166
Глава IV. Эллиптические уравнения.................... 170
§ 1. Обобщенные решения краевых задач. Задачи на собственные значения .......... 170
1. Классические и обобщенные решения краевых задач (170). 2. Существо-ванне н единственность обобщенного решения в простейшем случае (173). 3. Собственные функции н собственные значения (175). 4. Вариационные свойства собственных значений и собственных функций (182). 5. Аснмптотическое поведение собственных значений первой краеврй задачи (188). 6. Разрешимость краевых задач в случае однородных граничных условий (190). 7. Первая краевая задача для общего эллиптического уравнения (193). 8. Обобщенные решения краевых задач с неоднородными граничными условиями (196). 9. Вариационный метод решения краевых задач (204).
§ 2. Гладкость обобщенных решений. Классические решения .... 209
1. Гладкость обобщенных решений в одномерном случае (209). 2. Внутренняя гладкость обобщенных решений (212). 3. Гладкость обобщенных решений краевых задач (217). 4. Гладкость обобщенных собственных функций (227). 5. О разложениях в ряды по собственным функциям (228). 6. Обобщения (231).
§ 3. Классические решения уравнений Лапласа и Пуассона .... 232
1. Гармонические функции. Потенциалы (232). 2. Основные свойства гармонических функций (236). 3. О классических решениях задачи Дирихле для уравнения Пуассона (243). 4. Гармонические функции в неограниченных областях (253).
Задачи к главе IV.............................. 261
Глава V. Гиперболические уравнения .................. 266
§ 1. Свойства решений волнового уравнения. Задача Коши для волнового уравнения........... 266
1. Свойства решений волнового уравнения (266). 2. Задача Коши для волнового уравнения (274).
§ 2. Смешанные задачи .................... 283
1. Единственность решения (283). 2. Существование обобщенного решения (290). 3. Метод Галёркина (298). 4. Гладкость обобщенных решений. Существование решения п. в. и классического решения (303).
§ 3. Обобщенное решение задачи Коши................ 325
Задачи к главе V.........................................336
Глава VI. Параболические уравнения......................................339
§ 1. Свойства решений уравнения теплопроводности. Задача Коши для уравнения теплопроводности......339
1. Свойства решений уравнения теплопроводности (339). 2. Задача Коши для уравнения теплопроводности (347).
§ 2. Смешанные задачи.......................... 358
1. Единственность решения (358). 2. Существование обобщенного решения (366). 3. Гладкость обобщенных решений смешанных задач. Существование решения п. в. и классического решения (371).
Задачи к главе VI............................... 385
Предметный указатель............................. 388
