Михлин С.Г. Курс математической физики. - М., 1968. - 576 с.
Курс содержит теорию линейных уравнений в частных производных. Особое внимание уделяется наиболее разработанным и наиболее важным трем классическим типам уравнений: эллиптическим, параболическим, гиперболическим.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................................9
Введение......................................................................12
Раздел I. Средние функции и обобщенные производные 17
Глава 1. Средние функции............................................17
§ 1. Усредняющее ядро.................................17
§ 2. Средние функции..................................................19
§ 3. Сходимость средних функций..................................21
Упражнения..............................................................24
Глава 2. Обобщенные производные................................25
§ 1. Понятие обобщенной производной............................25
§ 2. Простейшие свойства обобщенной производной..........31
§ 3. Предельные свойства обобщенных производных..........33
§ 4. Случай одной независимой переменной......................34
§ 5. Соболевские пространства и теоремы вложения..........36
Упражнения..............................................................37
Раздел II. Элементы вариационного исчисления............39
Глава 3. Основные понятия..........................................39
§ 1. Примеры на экстремум функционала........................39
§ 2. Постановка задачи вариационного исчисления ............41
§ 3. Вариация и градиент функционала............................44
§ 4. Уравнение Эйлера................................................52
§ 5. Вторая вариация. Достаточное условие экстремума ......... 56
§ 6. Изопериметрическая задача....................................57
§ 7. Минимизирующая последовательность........................63
Упражнения..............................................................64
Глава 4. Функционалы, зависящие от числовых функций вещественных переменных..................66
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления......-66
§ 2 Исследование второй вариации..............................69
§ 3. Случай многих независимых переменных..................72
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков......... 75
§ 5. Функционалы, зависящие от нескольких функций....... 78
§ 6. Естественные краевые условия................................80
Глава 5. Минимум квадратичного функционала . . . . ..........89
§ 1. Понятие о квадратичном функционале..... ............89
§ 2. Положительно определенные операторы....................91
§ 3. Энергетическое пространство................................97
§ 4. Задача о минимуме квадратичного функционала ..........106
§ 5. Обобщенное решение....................109
§ 6. О сепарабельности энергетического пространства ... 112
§ 7. Расширение положительно определенного оператора ....... 115
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения............120
§ 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала ..............................126
§ 10. Случай только положительного оператора........130
Упражнения...............................130
Глава 6. Собственный спектр положительно определенного оператора......................132
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора........132
§ 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора.............134
§ 3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора...............135
§ 4. Вариационная формулировка задачи о собственном спектре..............138
§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе........141
§ 6. Теорема о дискретности спектра..............144
§ 7. Задача Штурма - - Лиувилля.................148
§ 8. Элементарные случаи......................154
§ 9. Минимаксимальный принцип................155
§ 10. О росте собственных чисел задачи Штурма—Лиувилля 158
Упражнения ...............................160
Раздел III. Элементы теории интегральных уравнений...... 161
Глава 7. Вполне непрерывные операторы..........................161
§ 1. Необходимые сведении из функционального анализа ....... 161
§ 2. Оператор Фредгольма......................163
§ 3. Интегральный оператор со слабой особенностью.....166
§ 4. Операторы со слабой особенностью в пространстве непрерывных функций...................170
Упражнения...............................173
Глава 8. Теория Фредгольма.....................174
§ 1. Уравнения с в. н. о. Интегральные уравнения......174
§ 2. Сведение к конечномерному уравнению. Доказательство первой и второй теорем Фредгольма....177
§ 3. Доказательство третьей теоремы Фредгольма ....... 180
§ 4. Доказательство четвертой теоремы Фредгольма.....182
§ 5. Альтернатива Фредгольма...................185
§ 6 о непрерывности решений уравнения со слабой особенностью ..................187
раздел IV. Общие сведения об уравнениях в частных производных....................190
Глава 9. Уравнения и краевые задачи...............190
§ 1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение...........................190
§ 2. Классификация уравнений второго порядка........192
§ 3. Краевые условия и краевые задачи.............196
§ 4. Задача Коши............................200
§ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи...................202
Глава 10. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина 207
§ 1. Преобразование независимых переменных.........207
§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике........................209
§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду .............................212
§ 4. Случай двух независимых переменных...........213
§ 5. Формально сопряженные дифференциальные выражения 215
§ 6. Формулы Грина..........................217
Раздел V. Уравнения эллиптического типа..........222
Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции . ....... 222
§ 1. Основные понятия........................222
§ 2. Сингулярное решение уравнения Лапласа.........225
§ 3. Интегральное представление функций класса ...... 226
§ 4. Интегральное представление гармонической функции ...... 229
§ 5. Понятие о потенциалах....................231
§ 6. Свойства объемного потенциала...............234
§ 7. Теорема о среднем.......................241
§ 8. Принцип максимума......................245
§ 9. О сходимости последовательностей гармонических функций................247
§ 10. Распространение на уравнения с переменными коэффициентами ..........251
Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана...............259
§ 1. Постановка задач.........................259
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа.....261
§ 3. Решение задачи Дирихле для шара..............265
§ 4. Теорема Лиувилля........................272
§ 5. Задача Дирихле для внешности сферы...........273
§ 6. Производные гармонической функции на бесконечности 274
§ 7. Теорема единственности дтя внешней задачи Неймана 275
Глава 13. Элементарные решения задач Дирихле и Неймана 278
§ 1. Задачи Дирихле и Неймана для крута...........278
§ 2. Задача Дирихле для кругового кольни .........283
§ 3. Применение конформного преобразования.........284
§ 4. Сферические функции и их свойства............288
§ 5. Задачи Дирихле и Неймана, решаемые с помощью сферических функций........................201
Упражнения.................................295
Глава 14. Вариационный метод в задаче Дирихле. Другие положительно определенные задачи.......296
§ 1. Неравенство Фридрихса.....................296
§ 2. Оператор задачи Дирихле...................298
§ 3. Энергетическое пространство задачи Дирихле......302
§ 4. Обобщенное решение задачи Дирихле .... .......306
§ 5. Задача Дирихле для однородного уравнения........308
§ 6. О существовании вторых производных решения задачи Дирихле...............................311
§ 7. Эллиптические уравнения высших порядков и системы уравнений..............................313
§ 8. Задача Дирихле для бесконечной области.........317
Упражнения.................................320
Глава 15. Спектр задачи Дирихле.................321
§ 1. Интегральное представление функции, равной нулю на границе конечной области ................... 321
§ 2. Спектр задачи Дирихле для конечной области......323
§ 3. Элементарные случаи......................324
§ 4. Оценка роста собственных чисел...............328
Глава 16. Задача Неймана......................333
§ 1. Случай положительного С (х).................333
§ 2. Случай С (х) = 0........................335
§ 3. Интегральное представление С. Л. Соболева.......337
§ 4. Исследование оператора ..................340
§ 5. Обобщенное решение задачи Неймана...........344
Упражнения.................................346
Глава 17. Несамосопряженные эллиптические уравнения. . . 347
§ 1. Обобщенное решение......................347
§ 2. Теоремы Фредгольма......................349
Глава 18. Метод потенциалов для однородного уравнения Лапласа...................353
§ 1. Поверхности Ляпунова....................354
§ 2. Телесный угол..........................359
§ 3. Потенциал двойного слоя и его прямое значение .......365
§ 4. Ингеграл Гаусса.........................367
§ 5. Предельные значения потенциала двойного слоя .... 370
§ 6. Непрерывность потенциала простого слоя........374
§ 7. Нормальная производная потенциала простого слоя ........ 377
§ 8. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям...........382
§ 9. Задачи Дирихле и Неймана в полупространстве .......... 384
§ 10. Исследование первой пары сопряженных уравнений........ 386
§ 11. Исследование второй пары сопряженных уравнений........ . 388
§ 12. Решение внешней задачи Дирихле.............391
§ 13. Случай двух независимых переменных...........394
§ 14. Уравнения теории потенциала для круга.........400
Глава 19. Задача о косой производной ..............403
§ 1. Постановка задачи........................403
§ 2. Оператор Гильберта . . ....................405
§ 3. Уравнения с оператором Гильберта.............410
§ 4. Число решений и индекс задачи о косой производной на двумерной плоскости ...........418
Раздел VI. Нестационарные уравнения..... .......421
Глава 20. Уравнение теплопроводности..............422
§ 1. Уравнение теплопроводности и его характеристики. . . 422
§ 2. Принцип максимума.......................424
§ 3. Задача Коши и смешанная задача..............427
§ 4. Теоремы единственности...................429
§ 5. Абстрактные функции вещественной переменной.....431
§ 6. Обобщенное решение смешанной задачи..........432
Глава 21. Волновое уравнение....................436
§ 1. Понятие о волновом уравнении....... .........436
§ 2. Смешанная задача и ее обобщенное решение.......437
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус.........441
§ 4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости............................442
§ 5. Явление распространения волн ................................445
§ 6. Обобщенное решение задачи Коши.............447
Глава 22. Метод Фурье........................451
§ 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности......451
§ 2. Обоснование метода.......................453
§ 3. О существовании классического решения. Частный случай..............................457
§ 4. Метод Фурье для волнового уравнения...........459
§ 5. Обоснование метода для однородного уравнения.....462
§ 6. Обоснование метода для однородных начальных условий 466
§ 7. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения...............468
Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности . . 472
§ 1. Некоторые свойства преобразования Фурье........472
§ 2. Вывод формулы Пуассона...................477
§ 3. Обоснование формулы Пуассона...............481
§ 4. Бесконечная скорость теплопередачи ........................485
Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения.......486
§ 1. Применение преобразования Фурье.............486
§ 2. Преобразование решения....................489
§ 3. Случай трехмерного пространства..............493
§ 4. Обоснование формулы Кирхгофа...............495
§ 5. Задний фронт волны......................498
§ 6. Случай m = 2 (уравнение колебаний мембраны).....500
§ 7. Уравнение колебаний струны.................501
§ 8. Волновое уравнение с переменными коэффициентами . . 503
Раздел VII. Корректные и некорректные задачи......507
Глава 25. О корректности задач математической физики . . . 507
§ 1. Основная теорема........................507
§ 2. Положительно определенные задачи.............509
§ 3. Задача Дирихле для однородного уравнения Лапласа. . 510
§ 4. Внешняя задача Неймана....................511
§ 5. Внутренняя задача Неймана..................514
§ 6. Задачи теплопроводности....................517
§ 7. Задачи для волнового уравнения...............519
§ 8. О некорректности задач математической физики.....521
Добавления.................................524
Добавление 1. Эллиптические системы..............524
Добавление 2. О задаче Коши для гиперболических уравнений. В. А1 Бабин.........................532
Добавление 3. Некоторые вопросы теории общих дифференциальных операторов. В. Г. Мазья.............545
Добавление 4. Нелинейные эллиптические уравнения второго порядка. Я. Бакельман...................555
Литература . ................................569
Предметный указатель...........................574
