Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М., 1977. - 423 с.
В книге исследуются три классических типа уравнений математической физики: эллиптический, параболический и гиперболический. Изложение проводится для пространства любого числа измерений с широким привлечением методов функционального анализа и понятия обобщенных решений.
Предназначается для студентов-математиков, а также для аспирантов и научных работников.
Оглавление
Предисловие.....................................3
Введение..................................................5
§ 1. Предмет курса..................................................5
§ 2. Некоторые определения и обозначения.....................9
Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра............................13
§ 1. Равномерно сходящиеся интегралы ........................13
§ 2 Сферические координаты ............................................15
§ 3. Интегральные операторы со слабой особенностью................19
§ 4. Интегральные операторы со слабой особенностью (продолжение) 26
Глава 2. Средние функции и обобщенные производные.........29
§ 1. Усредняющее ядро .........................29
§ 2. Средние функции ......................... .30
§ 3. Понятие обобщенной производной.................33
§ 4. Простейшие свойства обобщенной производной..........37
§ 5. Предельные свойства обобщенных производных .........39
§ 6. Случай одной независимой переменной ..............40
§ 7. Об одном свойстве функций, имеющих обобщенную первую производную .................41
§ 8. Производные от интегралов со слабой особенностью.......43
Глава 3. Пространства функций с обобщенными производными .... 44
§ 1. Определение пространства W............44
§ 2. Соболевское интегральное тождество ............... 46
§ 3. Теоремы вложения .........................49
§ 4 Распространение на более общие области......... . . . . 52
§ 5. Эквивалентные нормы в соболевских пространствах.......53
§ 6. Неравенства Фридрихса и Пуанкаре ...............55
Глава 4. Положительно определенные операторы ............59
§ 1. Квадратичные функционалы...........................59
§ 2. Положительно определенные операторы..............60
§ 3. Энергетическое пространство....................64
§ 4. Функционал энергии и задача о его минимуме ..........70
§ 5. Обобщенное решение .................. ......72
§ 6. О сепарабельности энергетического пространства ........75
§ 7. Расширение положительно определенного оператора ......77
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального оператора ........80
§ 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала 36
§ 10. Случай только положительного оператора............88
Глава 5. Собственный спектр положительно определенного оператора 89
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора ............89
§ 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора ..............90
§ 3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора ....................... 91
§ 4. Вариационная формулировка задачи о собственном спектре 93
§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе ........................96
§ 6. Теорема о дискретности спектра.......................98
§ 7. Разложение по собственному спектру положительно определенного оператора................100
§ 8. Задача Штурма — Лиувилля ........ . . . .......101
§ 9. Элементарные случаи.............. ......... 105
§ 10. Минимаксимальный принцип................. .109
§ 11. О росте собственных чисел задачи Штурма —Лиувилля .... 112
Глава 6. Уравнения в банаховых пространствах и одномерные сингулярные уравнения..............114
§ 1. Некоторые понятия ........................114
§ 2. Теоремы Нетера ...........................115
§ 3. Теоремы об устойчивости индекса .............117
§ 4. Символ................................120
§ 5. Сингулярный интеграл Коши.....................122
§ 6. Оператор Коши в пространстве L(Г)..............126
§ 7. Символ и регуляризация сингулярного оператора ........ 131
§ 8. Вычисление индекса сингулярного оператора...........132
Глава 7. Элементы теории многомерных сингулярных интегралов . . 135
§ 1. Преобразование Фурье........................135
§ 2. Определение и условия существования сингулярного интеграла 140
§ 3. Теорема Жиро............................142
§ 4. Преобразование Фурье сингулярного ядра 146
§ 5. Сингулярные интегралы в L2.........................150
§ 6. О дифференцировании интегралов со слабой особенностью ... 154
Глава 8. Уравнения и краевые задачи.................157
§ 1. Дифференциальное выражение и дифференциальное уравнение 157
§ 2. Классификация уравнений второго порядка...........159
§ 3. Краевые условия и краевые задачи.....................163
§ 4. Задача Коши.............................166
§ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи .................169
Глава 9. Характеристики. Канонический вид Формулы Грина .................. 174
§ 1. Преобразование независимых переменных.............174
§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике .....................175
§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду ............178
§ 4. Формально сопряженные дифференциальные выражения ............... 179
§ 5. Дифференциальные выражения высших порядков........180
§ 6. Формулы Грина......................... 180
Глава 10. Обобщенные решения дифференциальных уравнений .... 185
§ 1. Локально суммируемые обобщенные решения......... 185
§ 2. Распределения и обобщенные функции..............187
§ 3. Обобщенные функции конечного порядка..............189
§ 4. Решения из класса обобщенных функций Сингулярные решения ................190
§ 5. Сингулярное решение уравнения Лапласа............ 190
§ 6. Сингулярное решение уравнения теплопроводности.......194
§ 7. Сингулярное решение волнового уравнения..................196
Глава 11. Уравнение Лапласа и гармонические функции 199
§ 1. Основные понятия...............................199
§ 2. Замена переменных в операторе Лапласа.............200
§ 3. Интегральное представление функций класса и гармонических функций.................205
§ 4. Понятие о потенциалах..........................
§ 5. Свойства объемного потенциала.............209
§ 6. Теоремы о среднем.................... 212
§ 7. Принцип максимума....................214
§ 8. Подпространства гармонических функций .........216
Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана.................. 220
§ 1. Постановка задач........................220
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа ........221
§ 3. Решение задачи Дирихле для шара................225
§ 4. Теорема Лиувилля .........................230
§ 5. Задача Дирихле для внешности сферы..............231
§ 6. Производные гармонической функции на бесконечности.....232
§ 7. Устранимые особенности гармонических функций...........233
Глава 13. Сферические функции......................235
§ 1. Понятие о сферических функциях..................235
§ 2. Дифференциальное уравнение сферических функций.......238
§ 3. Вспомогательные построения и утверждения ............239
§ 4. Оператор G и его степени. Ортогональность сферических функций ..................241
§ 5. Разложение сингулярного решения в ряд полиномов......242
§ 6. Интегральное уравнение сферических функций.............246
§ 7. Полнота системы сферических функций..............248
Глава 14. Теория потенциала . .....................251
§ 1. Поверхности Ляпунова........................251
§ 2. Телесный угол ............................253
§ 3. Прямое значение потенциала двойного слоя .......... 258
§ 4. Интеграл Гаусса...........................259
§ 5. Предельные значения потенциала двойного слоя.........261
§ 6. Непрерывность потенциала простого слоя.............264
§ 7. Нормальная производная потенциала простого слоя ......266
Глава 15. Интегральные уравнения теории потенциала.........271
§ 1. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям ..................271
§ 2. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства ....... 273
§ 3. Исследование первой пары сопряженных уравнений...... . 274
§ 4. Исследование второй пары сопряженных уравнений...... . 276
§ 5. Решение внешней задачи Дирихле.......................278
§ 6. Случай двух независимых переменных ..............280
§ 7. Уравнения теории потенциала для круга .................284
Глава 16. Задача о косой производной ........287
§ 1. Постановка задачи..........................287
§ 2. Случай двух переменных. Индекс задачи 288
§ 3. О непрерывности решений......................290
§ 4. Более простой случай задачи о косой производной.......291
§ 5. Случай многих переменных.............................295
Глава 17. Вариационный метод. Слабые решения............297
§ 1. Задача Дирихле с однородным краевым условием ........ 297
§ 2. Энергетическое пространство задачи Дирихле ...........302
§ 3. Задача Дирихле для однородного уравнения.......... .306
§ 4. Вторые производные слабого решения уравнения Лапласа . . . 307
§ 5. Об условии продолжимости......................309
§ 6. Функция Грина............................312
§ 7. Задача Неймана с однородным краевым условием 317
§ 8. Задача Неймана с неоднородным краевым условием.......321
§ 9. Эллиптические уравнения высших порядков; системы уравнений 324
§ 10. Задача Дирихле для бесконечной области............327
Глава 18. Спектр задач Дирихле и Неймана...............329
§ 1. Об одной теореме вложения .....................329
§ 2. Спектр задачи Дирихле для конечной области..........330
§ 3. Элементарные случаи......................331
§ 4. Оценка роста собственных чисел .........333
§ 5. Спектр задачи Неймана для конечной области ..........336
§ 6. О несамосопряженных уравнениях .................337
§ 7. Задачи Дирихле и Неймана для несамосопряженного эллиптического уравнения...........340
Глава 19. Сильные решения ........................342
§ 1. Решение уравнения Лапласа для параллелепипеда .......342
§ 2. Умножение слабого решения на гладкую функцию .......345
§ 3. Сильные решения в произвольной области...... ......346
§ 4. Неоднородные краевые условия...................351
§ 5. Случай достаточно гладкой границы................352
Глава 20. Уравнение теплопроводности..................354
§ 1. Уравнение теплопроводности и его характеристики...... .354
§ 2. Принцип максимума........................ .356
§ 3. Задача Коши и смешанная задача............358
§ 4. Теоремы единственности..........................358
§ 5. Абстрактные функции вещественной переменной.........360
§ 6. Слабое решение смешанной задачи .................361
Глава 21. Волновое уравнение................................363
§ 1. Понятие о волновом уравнении...................363
§ 2. Смешанная задача и ее слабое решение............. .364
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус......366
§ 4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости .....367
§ 5. Явление распространения волн..................................369
Глава 22. Метод Фурье.......... . ................371
§ 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности..........371
§ 2. Обоснование метода Фурье...................372
§ 3. О корректности смешанной задачи для уравнения теплопроводности ......................376
§ 4. О стабилизации решения ......................377
§ 5. О существовании классического решения............ .379
§ 6. Случай несамосопряженной эллиптической части ........381
§ 7. Метод Фурье для волнового уравнения....................385
§ 8. Обоснование метода для однородного уравнения.........387
§ 9. Обоснование метода для однородных начальных условий .... 390
§ 10. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения.......392
Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности ....... 394
§ 1. Формула Пуассона..........................394
§ 2. Другой вывод формулы Пуассона .................397
§ 3. Обоснование формулы Пуассона ..................400
§ 4 Бесконечная скорость теплопередачи ...............404
Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения............405
§ 1. Применение преобразования Фурье.................405
§ 2. Применение сингулярного решения ................407
§ 3. Случай нечетного числа координат. Обобщенная формула Кирхгофа .................410
§ 4. Задний фронт волны.........................413
§ 5. Обоснование формулы Кирхгофа.................414
§ 6. Случай четного числа координат..................417
§ 7. Уравнение колебаний струны....................419
§ 8. О корректности задачи Коши....................420
Литература....................................421
Алфавитный указатель.................... .423
