Миллер У. Симметрия и разделение переменных. - М., 1981.
Монография по применению метода разделения переменных в уравнениях в частных производных и его связи с теорией групп (связи между алгеброй Ли симметрий уравнения, системами координат, в которой уравнение допускает разделение переменных, и свойствами получающихся при этом специальных функций), принадлежащая перу американского математика. Найдены все решения с разделенными переменными ряда классических уравнений математической физики (уравнения Лапласа, Гельмгольца, Клейна — Гордона, Шредингера), приведен большой справочный материал по специальным функциям.
Для математиков, физиков, инженеров, аспирантов и студентов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА...........5
ОТ РЕДАКТОРА ЭНЦИКЛОПЕДИИ..............7
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА СЕРИИ.............8
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА..................28
Глава 1. УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА .............33
1.0. Введение.................... . 33
1.1. Группа симметрии уравнения Гельмгольца........34
1.2. Разделение переменных для уравнения Гельмгольца .... 42
1.3. Формулы разложения, связывающие решения с разделенными переменными...........56
1.4. Разделение переменных для уравнения Клейна — Гордона ...........74
1.5. Формулы разложения для решений уравнения Клейна — Гордона .................... ...83
1.6. Комплексное уравнение Гельмгольца..........95
1.7. Метод Вейснера для комплексного уравнения Гельмгольца . . 103
Упражнения.....................,109
Глава 2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.........111
2.1. Разделение переменных для уравнения Шредингера ..........111
2.2. Уравнение теплопроводности ......132
2.3. Разделение переменных для уравнения Шредингера...............146
2.4. Комплексное уравнение................... 154
2.5. Разделение переменных для уравнения Шредингера...............162
2.6. Базисы и матричные элементы смешанных базисов для уравнения Шредингера...........178
2.7. Вещественное и комплексное уравнения теплопроводности.............188
2.8. Заключительные замечания..............203
Упражнения......................206
Глава 3. УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ЛАПЛАСА С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ..............207
3.1. Уравнение Гельмгольца .........207
3.2. Модель гильбертова пространства: сфера .......217
3.3. Многочлены и функции Ламе на сфере..........231
3.4. Формулы разложения для решений с разделенными переменными уравнения Гельмгольца .......239
3.5. Модели негильбертовых пространств для решений уравнения Гельмгольца....................242
3.6. Уравнение Лапласа .............252
3.7. Тождества для решений с разделенными переменными уравнения Лапласа..................263
Упражнения......................272
Глава 4. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ...............273
4.1. Уравнение ...............273
4.2. Оператор Лапласа на сфере..............280
4.3. Диагоиализация операторов Р0, Pz и D.........284
4.4. Уравнение Шредингера и уравнение Эйлера — Пуассона — Дарбу...............288
4.5. Волновое уравнение ........292
Упражнения......................295
Глава 5. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ 296
5.1. Функции Лауричеллы ...............296
5.2. Формулы преобразований и производящие функции для функций..............303
Упражнения......................308
Приложение А. ГРУППЫ И АЛГЕБРЫ ЛИ ... .........310
Приложение Б. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 315
Приложение В. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ..........324
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...................326
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ.......................333
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.....................336
