Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология. Начальный курс. - М., 1972. - 280 с.
Книга составлена из двух небольших и хорошо дополняющих одно другое сочинений известных американских ученых: Дифференциальная топология. Первые шаги (Уоллес А.) и Топология с дифференциальной точки зрения (Милнор Дж.). Она может служить для первоначального ознакомления с новой математической дисциплиной, интерес к которой за последние годы очень возрос. Идеи дифференциальной топологии оказались чрезвычайно плодотворными в геометрии, в анализе, в теории дифференциальных уравнений, а также в различных приложениях математики. Авторы излагают начальные понятия этой дисциплины, иллюстрируя их большим количеством примеров.
Книгу следует рекомендовать всем, начинающим изучать современную математику. Она доступна для студентов младших курсов университетов и педагогических институтов, ко будет также интересна как специалистам, так и всем, кто желает получить представление о математике наших дней.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода ..........5
А. УОЛЛЕС. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ. ПЕРВЫЕ ШАГИ
Предисловие ................11
§ 1. Топологические пространства ...........13
1.1. Окрестности ...............13
1.2. Открытые и замкнутые множества.......16
1.3. Непрерывные отображения.............19
1.4. Топологические произведения..........20
1.5. Связность................21
1.6. Компактность ..............25
1.7. Пространства со счетной базой........28
§ 2. Гладкие многообразия.............28
2.1. Введение ...................28
2.2. Гладкие функции и гладкие отображения .... 32
2.3. Гладкие многообразия...........35
2.4. Локальные координаты и гладкие функции .... 40
2.5. Гладкие отображения............45
2.6. Ранг гладкого отображения ...........49
2.7. Многообразия с краем ...........50
§ 3. Подмногообразия ..............53
3.1. Определение ...............53
3.2. Многообразия в евклидовом пространстве .... 58
3.3. Теорема о вложении............65
3.4. Вложение многообразия с краем.......69
§ 4. Касательные пространства и критические точки . . .71
4.1. Касательные прямые............71
4.2. Критические точки..... .......74
4.3. Невырожденные критические точки.......81
4.4. Усиление теоремы о вложении.........85
§ 5. Критические и некритические уровни.......89
5.1. Определения и примеры...........89
5.2. Окрестность критического уровня; разбор одного примера.................96
5.3. Окрестность критического уровня; общее обсуждение 98
5.4. Окрестность критической точки........100
5.5. Окрестность критического уровня; итоги .... 106
§ 6. Сферические перестройки............109
6.1. Введение ................109
6.2. Прямое вложение . . . . . .......109
6.3. Определение перестроек ..............114
6.4. Пленка, реализующая перестройку......118
6.5. Бордаитные многообразия..........123
6.6. Малые шевеления и изотопия...........125
6.7. Приведение в общее положение...... .130
6.8. Перегруппировка перестроек ..... 133
6.9. Интерпретация теоремы 6.5 в терминах критических точек..................136
§ 7. Двумерные многообразия ...........137
7.1. Введение ................137
7.2. Ориентируемые двумерные многообразия .... 138
7.3. Неориентируемый случай ......... 152
7.4. Теорема о трехмерных многообразиях.....159
§ 8. Последующие шаги .......160
8.1. Убивание гомотопических классов.......161
8.2. Компенсирующие перестройки и сокращение . . . 164
8.3. Приложение к трехмерным многообразиям .... 174
ДЖ. МИЛНОР. топология с. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
Предисловие..................178
§ I. Гладкие многообразия и гладкие отображения . .179
Касательные пространства и производные......181
Регулярные значения .............. 189
Основная теорема алгебры ........ ... 190
§ 2. Теорема Сарда и Брауна ....... ..... 191
Многообразия с краем.............194
Теорема Брауэра о неподвижной точке......197
§ 3. Доказательство теоремы Сарда......... 200
§ 4. Степень отображения по модулю 2 ........204
Гладкая гомотопия и гладкая изотопия ....... 205
§ 5. Ориентированные многообразия.............211
Степень Брауэра...............213
§ 6. Векторные ПОЛЯ и эйлерова характеристика . . . .218
§ 7. Оснащенный бордизм; конструкция Понтрягина , . . 232
Теорема Хопфа................ 245
§ 8. Упражнения ................. 247
Приложение. Классификация одномерных многообразий ..............258
Заключительные замечания и рекомендуемая литература . . 263
Литература ...................268
Список обозначений....... ....... . 271
Предметный указатель ............... 273
