Нестеренко Ю. В. Теория чисел : учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю. В. Нестеренко. — М., 2008. - 272 с.
Основу учебника составляют результаты элементарной теории чисел, сформировавшейся в трудах классиков — Ферма, Эйлера, Гаусса и др. Обзорно освещены свойства простых чисел, теория диофантовых уравнений, алгоритмические аспекты теории чисел с применениями в криптографии (проверка больших простых чисел на простоту, разложение больших чисел на множители, дискретное логарифмирование) и с использованием ЭВМ.
Для студентов высших учебных заведений.
Оглавление
Введение................................. 3
Глава 1. О делимости чисел.................... 7
1.1. Свойства делимости целых чисел................. 8
1.2. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель . . 10
1.3. Алгоритм Евклида.........................14
1.4. Решение в целых числах линейных уравнений..........18
Задачи для самостоятельного решения................28
Глава 2. Простые и составные числа...............30
2.1. Простые числа. Решето Эратосфена. Бесконечность множества простых чисел....... 30
2.2. Основная теорема арифметики..................33
2.3. Теоремы Чебышева.........................44
2.4. Дзета-функция Римана и свойства простых чисел .......53
Задачи для самостоятельного решения................60
Глава 3. Арифметические функции...............63
3.1. Мультипликативные функции и их свойства ..........63
3.2. Функция Мёбиуса и формулы обращения............65
3.3. Функция Эйлера..........................70
3.4. Сумма делителей и число делителей натурального числа ... 72
3.5. Оценки среднего значения арифметических функций .....75
Задачи для самостоятельного решения................79
Глава 4. Числовые сравнения...................81
4.1. Сравнения и их основные свойства................81
4.2. Классы вычетов. Кольцо классов вычетов по данному модулю...................... 83
4.3. Полная и приведенная системы вычетов.............87
4.4. Теорема Вильсона .........................89
4.5. Теоремы Эйлера и Ферма.....................90
4.6. Представление рациональных чисел бесконечными десятичными дробями ............ 92
4.7. Проверка на простоту и построение больших простых чисел..................... 94
4.8. Разложение целых чисел на множители и криптографические применения .........105
Задачи для самостоятельного решения...............108
Глава 5. Сравнения с одним неизвестным..........110
5.1. Основные определения......................110
5.2. Сравнения первой степени....................112
5.3. Китайская теорема об остатках.................114
5.4. Полиномиальные сравнения по простому модулю.......118
5.5. Полиномиальные сравнения по составному модулю......125
Задачи для самостоятельного решения...............129
Глава 6. Сравнения второй степени..............131
6.1. Сравнения второй степени по простому модулю........131
6.2. Символ Лежандра и его свойства................134
6.3. Квадратичный закон взаимности................135
6.4. Символ Якоби и его свойства..................142
6.5. Суммы двух и четырех квадратов ...............145
6.6. Представление нуля квадратичными формами от трех переменных ..........152
Задачи для самостоятельного решения...............157
Глава 7. Первообразные корни и индексы..........158
7.1. Показатель числа по заданному модулю............158
7.2. Существование первообразных корней по простому модулю.............160
7.3. Построение первообразных корней по модулям рк и 2рк . . . 164
7.4. Теорема об отсутствии первообразных корней по модулям, отличным от 2, 4, рк и 2рк .....167
7.5. Индексы и их свойства......................170
7.6. Дискретное логарифмирование.................174
7.7. Двучленные сравнения......................181
Задачи для самостоятельного решения...............184
Глава 8. Цепные дроби......................185
8.1. Теорема Дирихле о приближении действительных чисел рациональными..................187
8.2. Конечные цепные дроби.....................189
8.3. Цепная дробь действительного числа..............193
8.4. Наилучшие приближения....................199
8.5. Эквивалентные числа ......................203
8.6. Квадратичные иррациональности и цепные дроби......207
8.7. Использование цепных дробей для решения некоторых диофантовых уравнений...........213
8.8. Разложение числа е в цепную дробь ..............222
Задачи для самостоятельного решения...............225
Глава 9. Алгебраические и трансцендентные числа .... 226
9.1. Поле алгебраических чисел...................226
9.2. Приближения алгебраических чисел рациональными. Существование трансцендентных чисел ..234
9.3. Иррациональность чисел е и π.................239
9.4. Трансцендентность числа е...................243
9.5. Трансцендентность числа к...................246
9.6. Невозможность квадратуры круга...............252
Задачи для самостоятельного решения...............256
Ответы и указания..........................258
Список литературы..........................262
