Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах: Учебное пособие. — М.: Выс шк., 2001. — 445 с.: ил.
Пособие охватывает классические разделы теории функций комплексного переменного: дифференцирование, интегрирование, разложение в функциональные ряды, анализ особых точек и вычисление вычетов. Рассмотрено применение преобразования Лапласа и z-преобразования для решения линейных дифференциалы» и разностных уравнений. Особое внимание уделено специфике решения задач анализа выходных процессов и устойчивости линейных одномерных и многомерных непрерывных и дискретных динамических систем, исследуемых в теории управления.
По каждому разделу кратко изложены основные теоретические сведения, при ведены решения типовых примеров, даны упражнения и задачи для самостоятельной работы с ответами.
Для студентов высших технических учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.....................................................................5
Введение.......................................................................6
Глава 1. Комплексные числа..............................................10
1.1. Формы задания комплексных чисел........................................10
1.1.1. Комплексные числа в алгебраической форме...........................10
1.1.2. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.........16
1.2. Множества на комплексной плоскости....................................31
1.2.1. Основные определения...................................................31
1.2.2. Кривые на комплексной плоскости...........................................32
1.2.3. Области.................................................................38
1.3. Числовые последовательности и ряды с комплексными членами.....45
1.3.1. Последовательности комплексных чисел...................................45
1.3.2. Анализ сходимости рядов с комплексными членами...............48
Задачи для самостоятельного решения......................................55
Глава 2. Функции комплексного переменного......................................57
2.1. Дифференцирование функций комплексного переменного..............57
2.1.1. Основные определения..................................................57
2.1.2. Элементарные функции комплексного переменного................71
2.1.3. Свойства дифференцируемых функций.....................................88
2.1.4. Аналитические функции...........................................................100
2.1.5. Простейшие отображения.........................................................120
2.2. Интегрирование функций комплексного переменного....................158
2.2.1. Основные определения..............................................................158
2.2.2. Вычисление интегралов.............................................................162
2.2.3. Основные теоремы интегрального исчисления.......................169
2.2.4. Вычисление интегралов по замкнутому контуру от функций комплексного переменного........173
Задачи для самостоятельного решения....................................................179
Глава 3. Функциональные ряды в комплексной области.........................................181
3.1.1. Анализ сходимости функциональных последовательностей и рядов........................ 181
З.1.1. Основные определения..............................................................181
3.1.2. Нахождение области сходимости рядов. Исследование рядов на равномерную сходимость....183
З.1.З. Степенные ряды.........................................................................187
3.1.4. Ряды по целым степеням.......................................................... 194
3.2. Разложение функций в ряды.........................................................198
3.2.1. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора..........198
3.2.2. Нули аналитических функций..............................................214
3.2.3. Разложение функций в ряды по целым степеням» Ряд Лорана .....................218
Задачи для самостоятельного решения....................................................232
Глава 4. Особые точки функций комплексного переменного. Вычеты...................234
4.1. Изолированные особые точки функций............................................234
4.1.1. Классификация особых точек...................................................234
4.1.2. Ряд Лорана в окрестности особой точки.................................241
4.1.3. Правила определения порядка полюса....................................247
4.1.4. Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций.....257
4.2. Вычеты и их применение....................................................................263
4.2.1. Определение вычета...................................................................263
4.2.2. Вычисление вычетов в полюсе и устранимой особой точке.............270
4.2.3. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов.......277
4.2.4. Применение вычетов к вычислению интегралов от функций действительной переменной...............286
4.2.5. Применение вычетов к исследованию расположения нулей многочлена на комплексной плоскости.........302
Задачи для самостоятельного решения....................................................314
Глава 5. Операционное исчисление...........................316
5.1. Преобразование Лапласа.....................................................316
5.1.1. Основные определения..................................................316
5.1.2. Свойства преобразования Лапласа...........................................319
5.1.3. Нахождение изображения по оригиналу..................................328
5.1.4. Нахождение оригинала по изображению.................................339
5.2. Области применения преобразования Лапласа.................................351
5.2.1. Решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами......351
5.2.2. Анализ выходных процессов линейных непрерывных стационарных динамических систем............371
5.2.3. Анализ устойчивости линейных непрерывных стационарных динамических систем..............383
5.3. Z -преобразование......................396
5.3.1. Основные определения.............................................396
5.3.2. Свойства Z-преобразования..............................398
5.3.3. Нахождение изображения по оригиналу..................................399
5.3.4. Нахождение оригинала по изображению.................................400
5.4. Области применения Z -преобразования..........................................406
5.4.1. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.............406
5.4.2. Анализ выходных процессов линейных дискретных стационарных динамических систем......415
5.4.3. Анализ устойчивости линейных дискретных стационарных динамических систем............427
Задачи для самостоятельного решения....................................................436
Ответы и указания...............................................438
Литература.........................................................443
