Письменный Д.Т. Высшая математика: 100 экзаменационных вопросов (домашний репетитор). - М., 1999. - 304с.
Настоящее пособие предназначено, в первую очередь, для студентов, готовящихся к сдаче экзамена по высшей математике на 1-м курсе. Оно содержит изложенные в краткой к доступной форме ответы на экзаменационные вопросы устного экзамена.
Пособие может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Оно содержит необходимый материал по 10-ти разделам курса высшей математики, которые обычно изучаются студентами ва первом курсе вуза (техникума).
Ответы на 108 экзаменационных вопросов (с подпунктами - значительно больше) сопровождаются, как правило, решением соответствующих примеров и задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора..........................7
Предисловие.........................8
I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
1. Определители (основные понятия) .....................9
2. Свойства определителей ...........................11
3. Матрицы (основные понятия)........................13
4. Действия над матрицами.......................15
5. Обратная матрица.......................17
6. Ранг матрицы.............................20
7. Системы линейных уравнений (основные понятия)................22
8. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.......24
9. Решение систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли...............26
10. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса............28
11. Системы линейных однородных уравнений....................31
II. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
12. Векторы и линейные операции над ними.................33
13. Проекция вектора на ось...................36
14. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы .........38
15. Действия над векторами, заданными проекциями ................40
16. Скалярное произведение векторов и его свойства................42
17. Выражение скалярного произведения через координаты. Применение скалярного произведения векторов..............44
18. Векторное произведение векторов и его свойства.............46
19. Выражение векторного произведения через координаты. Применение векторного произведения векторов.................48
20. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл и свойства................50
21. Выражение смешанного произведения через координаты. Применение смешанного произведения ........51
III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
22. Система координат на плоскости.................53
23. Основные задачи на метод координат (на плоскости) ............55
24. Преобразование системы координат....................57
25. Уравнение линии на плоскости, примеры ................59
Различные виды уравнений прямой на плоскости.................63
Прямая линия на плоскости. Основные задачи..................68
Окружность...................70
Эллипс.....................72
Гипербола....................75
Парабола...................80
Общее уравнение линий второго порядка...................82
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Поверхности и линии в пространстве и их уравнения ............86
Различные виды уравнений плоскости в пространстве ......89
Плоскость. Основные задачи....................93
Различные виды уравнений прямой в пространстве ..............95
Прямая линия в пространстве. Основные задачи..................98
Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи......100
Цилиндрические поверхности ..................102
Поверхности вращения. Конические поверхности.........104
Канонические уравнения поверхностей второго порядка.....107
V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Множества. Действительные числа................113
Функция...................117
Последовательности.................125
Предел функции..................130
Бесконечно малые функции (б.м.ф.) и основные теоремы о них.....134
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией ...................137
Основные теоремы о пределах..............138
Признаки существования пределов..............141
Первый замечательный предел ...............142
Второй замечательный предел..............143
Сравнение бесконечно малых функций.............145
Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них ......146
Применение эквивалентных бесконечно малых функций ......147
Непрерывность функций...................150
Точки разрыва функции и их классификация..........152
Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций..............154
Свойства функций, непрерывных на отрезке ...........155
VI. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
59. Задачи, приводящие к понятию производной...............157
60. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой ....... 160
61. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.................162
62. Производная суммы, разности, произведения и частного функций..................163
63. Производная сложной и обратной функций............165
64. Производные основных элементарных функций..........167
65. Гиперболические функции и их производные...........172
66. Таблица производных.......................174
67. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически .................176
68. Логарифмическое дифференцирование...............177
69. Производные высших порядков...............179
70. Дифференциал функции и его геометрический смысл......182
71. Основные теоремы о дифференциалах.. Таблица дифференциалов .................184
72. Применение дифференциала к приближенным вычислениям .........186
73. Дифференциалы высших порядков.................188
VII. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ (К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ)
74. Теорема Ролля...................190
75. Теорема Коши...................191
76. Теорема Лагранжа и ее следствия ..............192
77. Правило Лопиталя.................194
78. Раскрытие неопределенностей различных видов .........196
79. Возрастание и убывание функций...............197
80. Максимум и минимум функций..............199
81. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .......202
82. Выпуклость графика функции. Точки перегиба..........204
83. Асимптоты графика функции..................206
84. Общая схема исследования функции и построения графика ......208
85. Формула Тейлора..................210
VIII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
86. Понятие комплексного числа.............214
87. Действия над комплексными числами.............217
IX. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
88. Неопределенный интеграл и его свойства ...........222
89. Таблица основных интегралов..............226
90. Основные методы интегрирования.................228
91. Интегрирование рациональных функций.............234
92. Интегрирование тригонометрических функций .........244
93. Интегрирование иррациональных функций.............247
94. «Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы ............252
X. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
95. Определенный интеграл как предел интегральной суммы .........254
96. Геометрический и физической смысл определенного интеграла...........256
97. Связь определенного интеграла с неопределенным (формула Ньютона-Лейбница)................258
98. Основные свойства определенного интеграла...........260
99. Вычисление определенного интеграла ...............265
100. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах ...............268
101. Несобственные интегралы................269
102. Схемы применения определенного интеграла к нахождению геометрических и физических величин..............273
103. Вычисление площадей плоских фигур...............275
104. Вычисление длины дуги плоской кривой.............279
105. Вычисление объема тела ...............283
106. Вычисление площади поверхности вращения...........285
107. Приложения определенного интеграла к решению задач физики и механики..............287
108. Приближенное вычисление определенного интеграла......294
Справочные материалы .............300
