Просветов Г. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: задачи и решения. - М., 2009. - 208 с.
В книге излагаются основы матричного анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, при этом раскрываются глубокие связи предмета с другими разделами математики и дается представление о современных тенденциях его развития и приложениях к задачам численного анализа. Для студентов и преподавателей факультетов прикладной математики, математики и механики, физических и инженерных специальностей, а также лиц, профессионально применяющих методы матричного анализа и линейной алгебры.
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки «Математика», «Прикладная математика и информатика».
Содержание
Предисловие .....................................................................3
ГЛАВА 1. Матрицы ..................................................................5
1.1. Действия с матрицами.................................................................................6
1.2. Свойства действий с матрицами .................................................................9
ГЛАВА 2. Определители...............................................................................10
2.1. Определители второго порядка.................................................................10
2.2. Определители третьего порядка....................................................10
2.3. Алгебраические дополнения и миноры............................................................11
2.4. Разложение определителя по строке или столбцу ............................................12
2.5. Свойства определителей.....................................................................13
2.6. Вычисление определителей ........................................................................14
ГЛАВА 3. Обратная матрица ........................................................................................17
3.1. Алгоритм нахождения обратной матрицы ....................................................................17
3.2. Нахождение обратной матрицы для матрицы второго порядка 17
3.3. Нахождение обратной матрицы для матрицы третьего порядка 18
3.4. Свойства обратной матрицы......................................................................................19
ГЛАВА 4. Системы линейных уравнений....................................................................................................20
4.1. Основные определения ..........................................................................................20
4.2. Правило Крамера............................................................................................20
4.3. Матричный метод решения систем линейных уравнений ..................23
4.4. Ступенчатый вид матрицы. Ранг матрицы....................................................................24
4.5. Метод Гаусса............................................................................................................26
4.6. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса ..................................................30
ГЛАВА 5. Векторы........................................................................................................32
5.1. Действия с векторами..........................................................................32
5.2. Базис.....................................................................33
5.3. Декартова система координат................................................................34
5.4. Система координат на прямой........................................................................34
5.5. Декартова прямоугольная система координат на плоскости ..........35
5.6. Декартова прямоугольная система координат в пространстве ... 36
5.7. Координаты вектора. Преобразование координат вектора при основных операциях....................................37
5.8. Модуль вектора. Расстояние между двумя точками ......................................38
5.9. Направляющие косинусы..................................................................................38
5.10. Критерий коллинеарности векторов ............................................................39
5.11. Деление отрезка в данном отношении ....................................................40
ГЛАВА 6. Скалярное произведение векторов ...................................................41
6.1. Определение и основные свойства скалярного произведения векторов .................................................41
6.2. Угол между векторами ...................................................................................42
6.3. Проекция вектора на ось...............................................................43
6.4. Ортогональные векторы .......................................................................43
ГЛАВА 7. Векторное произведение векторов......................................................44
7.1. Правая и левая тройки векторов..........................................................................44
7.2. Определение и основные свойства векторного произведения векторов ..........................................45
7.3. Вычисление векторного произведения векторов................................................45
ГЛАВА 8. Смешанное произведение векторов ....................................................................................48
8.1. Определение и основные свойства смешанного произведения векторов ..............................................48
8.2. Вычисление смешанного произведения векторов............................................48
8.3. Условие компланарности векторов...............................................................49
8.4. Геометрический смысл смешанного произведения векторов .... 49
ГЛАВА 9. Полярные координаты ........................................................................51
ГЛАВА 10. Комплексные числа ....................................................................................53
10.1. Возникновение комплексных чисел....................................................................53
10.2. Алгебраическая форма комплексного числа..............................................................53
10.3. Действия с комплексными числами .........................................................................54
10.4. Тригонометрическая форма комплексного числа..............................................56
10.5. Показательная форма комплексного числа ................................................................58
10.6. Степень комплексного числа.....................................................................59
10.7. Корень n-й степени из комплексного числа ..............................................................59
ГЛАВА 11. Плоскость .........................................................................................61
11.1. Общее уравнение плоскости ........................................................61
11.2. Частные случаи расположения плоскости ....................................................................62
11.3. Уравнение плоскости в отрезках...................................................................63
11.4. Нормальное уравнение плоскости..............................................................64
11.5. Расстояние от точки до плоскости ..............................................................65
11.7. Взаимное расположение плоскостей................................................................65
11.8. Угол между двумя плоскостями ..............................................................68
ГЛАВА 12. Прямая в пространстве ..........................................................................69
12.1. Канонические уравнения прямой ...........................................................................69
12.2. Параметрические уравнения прямой .............................................................................70
12.3. Связь между параметрическими и каноническими уравнениями прямой ................................................70
12.4. Прямая как линия пересечения двух плоскостей ..............................................72
12.5. Взаимное расположение прямой и плоскости........................................................73
12.6. Угол между прямой и плоскостью ...................................................................78
12.7. Расстояние от точки до прямой ......................................................................78
12.8. Взаимное расположение прямых..................................................................79
12.9. Угол между двумя прямыми ...............................................................................81
ГЛАВА 13. Прямая на плоскости ...............................................................................83
13.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости ..........................................83
13.2. Взаимное расположение прямых на плоскости ....................................................84
13.3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ....................85
13.4. Расстояние от точки до прямой ...........................................................................86
13.5. Угол между двумя прямыми на плоскости ....................................................................86
ГЛАВА 14. Кривые второго порядка......................................................................88
14.1. Эллипс.......................................................................................................88
14.2. Гипербола ............................................90
14.3. Парабола .......................................................92
ГЛАВА 15. Преобразования координат..................................................93
15.1. Параллельный перенос...........................................................................93
15.2. Поворот осей координат ............................................................................94
ГЛАВА 16. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду .....................................95
ГЛАВА 17. Инварианты кривых второго порядка ..........................................................97
ГЛАВА 18. Поверхности второго порядка......................................................................99
ГЛАВА 19. Линейные пространства ..........................................................................101
19.1. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис ..................................107
ГЛАВА 20. Подпространства линейного пространства ............................................................109
20.1. Примеры подпространств линейного пространства......................................109
20.2. Способы задания подпространств ...............................................................111
20.3. Базис системы векторов ..............................................................................114
20.4. Сумма и пересечение подпространств ........................................................115
ГЛАВА 21. Преобразования базиса......................................................................117
21.1. Матрица перехода.........................................................................
21.2. Связь между координатами вектора в разных базисах ..............................118
ГЛАВА 22. Линейные операторы............................................................................119
ГЛАВА 23. Многочлены ......................................................................................125
23.1. Действия с многочленами ..........................................................................125
23.2. Схема Горнера ..................................................................................126
ГЛАВА 24. Собственные векторы...........................................................................128
24.1. Нахождение собственных векторов и собственных значений ... 128
ГЛАВА 25. Жорданова нормальная форма.......................................................................132
ГЛАВА 26. Функции от матрицы...............................................................................137
ГЛАВА 27. Минимальный многочлен ..............................................................139
ГЛАВА 28. Евклидовы пространства...........................................................................141
28.1. Процесс оргогонализации Грама-Шмидта....................................................................142
ГЛАВА 29. Проекция вектора на подпространство .................................................145
ГЛАВА 30. Решение систем линейных уравнений методом наименьших квадратов.......................148
ГЛАВА 31. Билинейные функции .............................................................................150
31.1. Примеры билинейных функций.................................................150
31.2. Симметрические и кососимметрические билинейные функции 151
31.3. Матрица билинейной функции ....................................................151
31.4. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе к новому базису ...................................152
ГЛАВА 32. Квадратичные формы.............................................................................154
32.1. Соответствие между симметрическими билинейными функциями и квадратичными формами .............154
32.2. Матрица квадратичной формы .................................................155
32.3. Положительная определенность квадратичной формы. Критерий Сильвестра........................................156
32.4. Канонический вид квадратичной формы. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к каноническому виду..........156
32.5. Нормальный вид квадратичной формы ............................................................................160
32.6. Метод Якоби ................................................................................................161
ГЛАВА 33. Применение квадратичных форм в теории кривых второго порядка .................................................162
ГЛАВА 34. Пара квадратичных форм..................................................................................164
ГЛАВА 35. Линейные операторы в евклидовом пространстве........................................167
35.1. Сопряженный оператор ................................................................................167
35.2. Симметрический оператор............................................................................................169
35.3. Ортогональный оператор ........................................................................................169
35.4. Полярное разложение ...........................................................................................173
ГЛАВА 36. Модель Леонтьева..........................................................................................175
Ответы........................................................................................................179
Программа учебного курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» .............................................184
Задачи для контрольной работы по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»...............................191
Литература ..............................................202
