Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978.
Книга посвящена методам решения алгебраических систем высокого порядка, возникающих при применении метода сеток к задачам математической физики. Наряду с итерационными методами, которые получили наиболее широкое распространение в вычислительной практике при решении указанных задач, излагаются и прямые методы.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов факультетов прикладной математики, а также на инженеров и специалистов, работающих в области вычислительной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................... . . 8
Введение.............................. 11
Глава I. Прямые методы решения разностных уравнений..... 24
§ 1 Сеточные уравнения. Основные понятия............ 24
1. Сетки и/сеточные функции (24). 2. Разностные производные и некоторые разностные тождества (26). 3. Сеточные и разностные уравнения (30). 4. Задача Коши и краевые задачи для разностных уравнений (33).
§ 2. Общая теория линейных разностных уравнений......... 37
1. Свойства решений однородного уравнения (37). 2. Теоремы о решениях линейного уравнения (40). 3. Метод вариации постоянных (41). 4. Примеры (45).
§ 3. Решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами . . 48
1. Характеристическое уравнение. Случай простых корней (48). 2. Случай кратных корней (49). 3. Примеры (52).
§ 4. Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ... 54
1. Общее решение однородного уравнения (54). 2. Полиномы Чебышева (57). 3. Общее решение неоднородного уравнения (59).
§ 5. Разностные задачи на собственные значения.........63
1. Первая краевая задача на собственные значения (63). 2. Вторая краевая задача (65). 3. Смешанная краевая задача (66). 4. Периодическая краевая задача (68).
Глава II. Метод прогонки.................. .73
§ 1. Метод прогонки для трехточечных уравнений.......... 73
1. Алгоритм метода (73). 2. Метод встречных прогонок (76). 3. Обоснование метода прогонки (78). 4. Примеры применения метода прогонки (80).
§ 2. Варианты метода прогонки................... 84
1. Потоковый вариант метода прогонки (84). 2. Метод циклической прогонки (86)- 3. Метод прогонки для сложных систем (90). 4. Метод немонотонной прогонки (93).
§ 3. Метод прогонки для пятиточечных уравнений . ........ 97
1. Алгоритм монотонной прогонки (97). 2. Обоснование метода (100). 3. Вариант немонотонной прогонки (101).
§ 4. Метод матричной прогонки................... 103
1. Системы векторных уравнений (103). 2. Прогонка для трехточечных векторных уравнений (106). 3. Прогонка для двухточечных векторных уравнений (109).4. Ортогональная прогонка для двухточечных векторных уравнений (112). 5. Прогонка для трехточечных уравнений с постоянными коэффициентами (117).
Глава III. Метод полной редукции................. 121
§ 1. Краевые задачи для трехточечных векторных уравнений .... 121
1. Постановка краевых задач (121). 2. Первая краевая задача (123). 3. Другие краевые задачи для разностных уравнений (125). 4. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности (128).
§ 2. Метод полной редукции для первой краевой задачи....... 130
1. Процесс нечетно-четного исключения (130). 2. Преобразование правой части и обращение матриц (133). 3. Алгоритм метода (136). 4. Второй алгоритм метода (139).
§ 3. Примеры применения метода.................. 144
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (144).
2. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности (146).
§ 4. Метод полной редукции для других краевых задач....... 149
1. Вторая краевая задача (149). 2. Периодическая задача (154). 3. Третья краевая задача (157).
Глава IV. Метод разделения переменных............. 164
§ 1. Алгоритм дискретного преобразования Фурье.......... 164
1. Постановка задачи (164). 2. Разложение по синусам и сдвинутым синусам (168).
3. Разложение по косинусам (175). 4. Преобразование действительной периодической сеточной функции (178). 5. Преобразование комплексной периодической сеточной функции (183).
§ 2. Решение разностных задач методом Фурье........... 185
1. Разностные задачи на собственные значения для оператора Лапласа в прямоугольнике (185). 2. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. Разложение в двойной ряд (190). 3. Разложение в однократный ряд (194).
§ 3. Метод неполной редукции................... 198
1. Комбинация методов Фурье и редукции (198). 2. Решение краевых задач для уравнения Пуассона в прямоугольнике (205). 3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности в прямоугольнике (208).
Глава V. Математический аппарат теории итерационных методов 212
§ 1. Некоторые сведения из функционального анализа........ 212
1. Линейные пространства (212). 2. Операторы в линейных нормированных пространствах (215). 3. Операторы в гильбертовом пространстве (218). 4. Функции от ограниченного оператора (223). 5. Операторы в конечномерном пространстве (224). 6. Разрешимость операторных уравнений (227).
§ 2. Разностные схемы как операторные уравнения......... 230
1. Примеры пространств сеточных функций (230). 2. Некоторые разностные тождества (233). 3. Границы простейших разностных операторов (235). 4. Оценки снизу для некоторых разностных операторов (238). 5. Оценки сверху для разностных операторов (246). 6. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных пространствах (247). 7. Разностные схемы для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами (251). 8. Уравнения с переменными коэффициентами и со смешанными производными (254).
§ 3. Основные понятия теории итерационных методов........ 258
1. Метод установления (258). 2. Итерационные схемы (259). 3. Сходимость и число итераций (261). 4. Классификация итерационных методов (263).
Глава VI. Двухслойные итерационные методы........... 266
§ 1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров..... 266
1. Исходное семейство итерационных схем (266). 2. Задача для погрешности (267). 3. Самосопряженный случай (268).
§ 2. Чебышевский двухслойный метод................ 269
1. Построение набора итерационных параметров (269). 2. О неулучшаемости априорной оценки (271). 3. Примеры выбора оператора D (272). 4. О вычислительной устойчивости метода (275). 5. Построение оптимальной последовательности итерационных параметров (280).
§ 3. Метод простой итерации.................... 284
1. Выбор итерационного параметра (284). 2. Оценка нормы оператора пере* хода (285).
§ 4. Несамосопряженный случай. Метод простой итерации...... 287
1. Постановка задачи (287). 2. Минимизация нормы оператора перехода (288). 3. Минимизация нормы разрешающего оператора (293). 4. Метод симметризации уравнения (297).
§ 5. Примеры применения итерационных методов.......... 298
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (298). 2. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области (301). 3. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами (307). 4. Разностная задача Дирихле для эллиптического ур.чшкчшя со смешанной производной (312).
Часть 1
Глава VII. Трехслойные итерационные метода.......... 351
§ 1. Оценка скорости сходимости.................. 315
1. Исходное семейство итерационных схем (315). 2. Оценка нормы погрешности (316).
§ 2. Полуитерационный метод Чебышева............... 318
1. Формулы для итерационных параметров (318). 2. Примеры выбора опера* тора D (320). 3. Алгоритм метода (321).
§ 3. Стационарный трехслойный метод................ 321
1. Выбор итерационных параметров (321). 2. Оценка скорости сходимости (322).
§ 4. Устойчивость двухслойных и трехслойных методов по априорным данным...................... 324
1. Постановка задачи (324). 2. Оценки скорости сходимости методов (326).
Глава VIII. Итерационные методы вариационного типа...... 331
§ 1. Двухслойные градиентные методы................ 331
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров (331). 2. Формула для итерационных параметров (333). 3. Оценка скорости сходимости (334). 4. Неулучшаемость оценки в самосопряженном случае (336). 5. Асимптотическое свойство градиентных методов в самосопряженном случае (338).
§ 2. Примеры двухслойных градиентных методов........... 340
1. Метод скорейшего спуска (340). 2. Метод минимальных невязок (341). 3. Метод минимальных поправок (343). 4. Метод минимальных погрешностей (344). 5. Пример применения двухслойных методов (344).
§ 3. Трехслойные методы сопряженных направлений ........ 347
1. Постановка задачи о выборе итерационных параметров. Оценка скорости сходимости (347). 2. Формулы для итерационных параметров. Трехслойная итерационная схема (349). 3. Варианты расчетных формул (354).
§ 4. Примеры трехслойных методов................. 355
1. Частные случаи методов сопряженных направлений (355). 2. Локально оптимальные трехслойные методы (356).
§ 5. Ускорение сходимости двухслойных методов в самосопряженном случае........... 360
1. Алгоритм процесса ускорения (360). 2. Оценка эффективности (361). 3. Пример (363).
Глава IX. Треугольные итерационные методы........... 366
§ 1. Метод Зейделя......................... 366
1. Итерационная схема метода (366). 2. Примеры применения метода (369). 3. Достаточные условия сходимости (372).
§ 2. Метод верхней релаксации................... 375
1. Итерационная схема. Достаточные условия сходимости (375). 2. Постановка задачи о выборе итерационного параметра (376). 3. Оценка спектрального радиуса (379). 4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (380). 5. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами (385).
§ 3. Треугольные методы...................... 387
1. Итерационная схема (387). 2. Оценка скорости сходимости (389). 3. Выбор итерационного параметра (390) 4. Оценка скорости сходимости методов Зейделя и релаксации (391).
Глава X. Попеременно-треугольный метод............. 395
§ 1. Общая теория метода................... 395
1. Итерационная схема (395). 2. Выбор итерационных параметров (397). 3. Метод нахождения исходных величин (400). 4. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (40 2).
§ 2. Разностные краевые задачи для эллиптических уравнений в прямоугольнике ............ 409
1. Задача Дирихле для уравнения с переменными коэффициентами (409). 2. Модифицированный попеременно-треугольный метод (411). 3. Сравнение вариантов метода (417). 4. Третья краевая задача (418). 5. Разностная задача Дирихле для уравнения со смешанными производными (421).
§ 3. Попеременно-треугольный метод для эллиптических уравнений в произвольной области......... 423
1. Постановка разностной задачи (423). 2. Построение попеременно-треугольного метода (425). 3. Задача Дирихле для уравнения Пуассона в произвольной области (429).
Глава XI. Метод переменных направлений............. 432
§ I. Метод переменных направлений в коммутативном случае .... 432
1. Итерационная схема метода (432). 2. Постановка задачи о выборе параметров (434). 3. Дробно-линейное преобразование (436). 4. Оптимальный набор параметров (4 38).
§ 2. Примеры применения метода.................. 440
1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике (4 40). 2. Третья краевая задача для эллиптического уравнения с разделяющимися переменными (44 5). 3. Разностная задача Дирихле повышенного порядка точности (4 4 9).
§ 3. Метод переменных направлений в общем случае......... 453
1. Случай неперестановочных операторов (453). 2. Разностная задача Дирихле для эллиптического уравнения с переменными коэффициентами (455).
Глава XII. Методы решения уравнений с незнакоопределенными и вырожденными операторами............ 459
§ 1. Уравнения с действительным незнакоопределенным оператором 459
1. Итерационная схема. Задача выбора итерационных параметров (459). 2. Преобразование оператора в самосопряженном случае (462). 3. Итерационный метод с чебышевскими параметрами (464). 4. Итерационные методы вариационного типа (468). 5. Примеры (469).
§ 2. Уравнения с комплексным оператором............. 471
1. Метод простой итерации (471). 2. Метод переменных направлений (475).
§ 3. Общие итерационные методы для уравнений с вырожденным оператором ............................ 478
1. Итерационные схемы в случае невырожденного оператора В (478). 2. Итерационный метод минимальных невязок (482). 3. Метод с чебышевскими параметрами (485).
§ 4. Специальные методы...................... 489
1. Разностная задача Неймана для уравнения Пуассона в прямоугольнике (489). 2. Прямой метод для задачи Неймана (493). 3. Итерационные схемы с вырожденным оператором В (496).
Глава XIII. Итерационные методы решения нелинейных уравнений 500
§ 1. Итерационные методы. Общая теория............. 500
1. Метод простой итерации для уравнений с монотонным оператором (500). 2. Итерационные методы для случая дифференцируемого оператора (503). 3. Метод Ньютона — Канторовича (50 5). 4. Двухступенчатые итерационные методы (509). 5. Другие итерационные методы (512).
§ 2. Методы решения нелинейных разностных схем......... 514
1. Разностная схема для одномерного эллиптического квазилинейного уравнения (514). 2. Метод простой итерации (522). 3. Итерационные методы для разностных квазилинейных эллиптических уравнений в прямоугольнике (524). 4. Итерационные методы для слабонелинейных уравнений (529).
Глава XIV. Примеры решения сеточных эллиптических уравнений ...... 532
§ 1. Способы построения неявных итерационных схем........ 532
1. Принцип регуляризации в общей теории итерационных методов (532). 2. Итерационные схемы с факторизованным оператором (536). 3. Способ неявного обращения оператора В (двухступенчатый метод) (540).
§ 2. Системы эллиптических уравнений............... 542
1. Принцип Дирихле для системы эллиптических уравнений в р-мерном параллелепипеде (542). 2. Система уравнений теории упругости (547).
Глава XV. Методы решения эллиптических уравнений в криволинейных ортогональных координатах............ 550
§ 1. Постановка краевых задач для дифференциальных уравнений . . 550
1. Эллиптические уравнения в цилиндрической системе координат (550). 2. Краевые задачи для уравнений в цилиндрической системе координат (553).
§ 2. Решение разностных задач в цилиндрической системе координат 556
1. Разностные схемы без смешанных производных в осесимметрическом случае. 2. Прямые методы (560). 3. Метод переменных направлений (561). 4. Решение уравнений, заданных на поверхности цилиндра (565).
§ 3. Решение разностных задач в полярной системе координат .... 569
1. Разностные схемы для уравнений в круге и кольце (569). 2. Разрешимость разностных краевых задач (571). 3. Принцип суперпозиции для задачи в круге (574). 4. Прямые методы решения уравнений в круге и кольце (575). 5. Метод переменных направлений (577). 6. Решение разностных задач в кольцевом секторе (580). 7. Общий случай переменных коэффициентов (582).
Дополнение. Построение полинома, наименее уклоняющегося от нуля....................... 585
Литература..........................590
Предметный указатель ................... 591
Часть 2
