Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М., 1971, 552 с.
В книге излагаются современные методы разностного решения задач математической физики и относящиеся сюда вопросы теории схем.Книга включает следующие разделы:однородные разностные схемы для решения одномерных уравнений параболического и гиперболического типов,разностные схемы для уравнений эллиптического типа,теория устойчивости разностных схем,экономичные методы решения многомерных задач математической физики,итерационные методы решения разностных уравнений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Основные обозначения, принятые в книге 11
Глава I. Предварительные сведения 13
§ 1. Основные понятия 13
1. Сетки и сеточные функции (13). 2. Разностная аппроксимация простейших дифференциальных операторов (17). 3. Погрешность аппроксимации на сетке (25). 4. Постановка разностной задачи (29). 5. О сходимости и точности схем (31). 6. Метод аппроксимации краевых и начальных условий (34). 7. Примеры устойчивых и неустойчивых разностных схем (38). 8. О понятии корректности разностной задачи (40). 9. Решение разностных уравнений методом прогонки (42).
§ 2. Некоторые сведения о математическом аппарате теории разностных 45 схем
1. Некоторые разностные формулы (45). 2. Отыскание собственных функций и собственных значений на примере простейшей разностной задачи (48). 3. Разностные аналоги теорем вложения (53). 4. Метод энергетических неравенств (56). 5. Принцип максимума (60).
§ 3. Некоторые сведения из функционального анализа 62
1. Линейные операторы (62). 2. Линейные ограниченные операторы в вещественном гильбертовом пространстве (64). 3. Линейные операторы в пространстве конечного числа измерений (68).
Глава II. Разностные схемы для уравнений с постоянными коэффициентами 70
§ 1. Уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами 70
1. Исходная задача (70). 2. Семейство шеститочечных схем (71). 3. Погрешность аппроксимации (73). 4. Устойчивость по начальным
данным (76). 5. Устойчивость по правой части (80). 6. Сходимость и точность (82). 7. Метод энергетических неравенств (83). 8. Краевые условия третьего рода (87). 9. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности (89).
§ 2. Разностные схемы для уравнения колебаний струны 92
1. Постановка разностной задачи и вычисление погрешности аппроксимации (92). 2. Исследование устойчивости (95). 3. Метод энергетических неравенств (101).
Глава III. Однородные разностные схемы 103
§ 1. Однородные схемы для стационарного уравнения с переменными коэффициентами 103
1. Введение (103). 2. Исходная задача (105). 3. Трехточечные схемы (106). 4. Пример схемы, расходящейся в случае разрывных коэффициентов (108). 5. Интегро-интерполяционный метод (метод баланса) построения однородных разностных схем (111). 6. Однородные консервативные схемы (114). 7, Исходный класс консервативных ахем. Шаблонные функционалы (116). 5. Разностная функция Грина (119). 9. Априорные оценки (122). 10. Погрешность аппроксимации в классе непрерывных коэффициентов (125). 11. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов (127). 12. О сходимости и точности (130).
13. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках (130).
14. Точная схема. Схема любого порядка точности (140). 15. Монотонные схемы для уравнения общего вида (145). 16. Третья краевая задача (148). 17. Коэффициентная устойчивость разностных схем (149). 18. Однородные схемы для уравнения в цилиндрической и сферической системах координат (152). 19. Задача с условиями периодичности (163). 20. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Постановка задачи и основные свойства (168). 21. Разностная задача Штурма — Лиувилля. Оценка скорости сходимости (178).
§ 2. Однородные разностные схемы для уравнения теплопроводности с 185 переменными коэффициентами
1. Однородные разностные схемы (185). 2. Погрешность аппроксимации (189). 3. Погрешность аппроксимации в классе разрывных коэффициентов (190). 4. Устойчивость и априорные оценки (192). 5. Сходимость и точность (197). 6. Однородные схемы на неравномерных сетках (201). 7. Монотонные схемы для параболических уравнений общего вида (206). 8. Цилиндрически- и сферически-симметричные задачи теплопроводности (207). 9. Третья краевая задача (211). 10. Периодическая задача (212). 11. Квазилинейные уравнения (214).
§ 3. Однородные разностные схемы для уравнений гиперболического типа 219 1. Однородные разностные схемы (219). 2. Погрешность аппроксимации (221). 3. Устойчивость и сходимость (222).
Глава IV. Разностные схемы для уравнений эллиптического типа 226
§ 1. Разностная задача Дирихле для уравнения Пуассона 226
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа (227). 2. Разностная задача Дирихле в прямоугольнике (230). 3. Разностная задача Дирихле в области сложной формы (2?2). 4. Запись разностного уравнения в канонической форме (237). 5. Принцип максимума (239). 6. Оценка решения неоднородного уравнения (242). 7. Оценка решения разностной задачи Дирихле (244). 8. Равномерная сходимость и порядок точности разностной задачи Дирихле (247). 9. Схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона (249).
§ 2. Некоторые оценки для разностных операторов, аппроксимирующих 252 дифференциальные операторы эллиптического типа 1. Разностный оператор Лапласа в прямоугольной области (252). 2. Оператор Лапласа в области, составленной из прямоугольников (258). 3. Операторы с переменными коэффициентами (259). 4. Оператор со смешанной производной (260). 5. Схема повышенного порядка точности для эллиптического уравнения со смешанными производными (263). Глава V. Общие формулировки. Операторно-разностные схемы 268
§ 1. Разностные схемы как операторные уравнения в абстрактных пространствах 268
1. Разностные схемы как операторные уравнения (268). 2. Устойчивость разностной схемы (275). 3. Сходимость и аппроксимация (276). 4. Некоторые априорные оценки (279). 5. Коэффициентная устойчивость уравнений первого рода (289). § 2. Операторно-разностные схемы 292
1. Введение (292). 2. Операторно-разностные схемы (293). 3. Каноническая форма двухслойных схем (294). 4. Канонические формы трехслойных схем (295). 5, Понятие, устойчивости (295). 6. Достаточные условия устойчивости двухслойных схем в линейных нормированных пространствах (297), Глава VI. Теория устойчивости разностных схем 301
§ 1. Классы устойчивых двухслойных схем 301
1. Постановка задачи (301). 2. Исходное семейство схем (302). 3. Энергетическое тождество (303). 4. Устойчивость по начальным данным вЯДЗОЗ). 5. Устойчивость по начальным данным в Нв
(305). 6. Необходимые и достаточные условия устойчивости по начальным данным (306). 7. Метод разделения переменных (309). 8. Некоторые вспомогательные неравенства (311). 9. Устойчивость по правой части (312). 10. Устойчивость схемы с весами (314). 11. Априорные оценки в случае переменного оператора^ (320)г. 12. Пример (322).
§ 2. Классы устойчивых трехслойных схем 324
1. Постановка задачи (324). 2. Основное энергетическое тождество (326). 3. Устойчивость по начальным данным (327). 4. Устойчивость по правой части (329). 5. Схемы с переменными операторами (333). 6. Схема с весами (335). 7. Примеры (337). 8. Другие априорные оценки (338). 9. О регуляризации разностных схем (345). 10. О работах по устойчивости разностных схем (348). Задачи к главе VI 351
Глава VII. Экономичные разностные схемы для многомерных задач математической физики 356
§ 1. Метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) для 356 уравнения теплопроводности
1. Об экономичных схемах (356). 2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная схема) (359). 3. Устойчивость (361). 4. Сходимость и точность (364). 5. Схема, для уравнения с переменными коэффициентами (364). § 2. Экономичные факторизованные схемы 367
1. Схемы с факторизованным оператором (367). 2. Краевые условия (369). 3. Построение экономичных факторизованных схем (370). 4. Схемы расщепления как факторизованные схемы (374). 5. Трехслойные факторизованные схемы (376). 6. Схема повышенного порядка точности для уравнения параболического типа с эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные (381). 7. Экономичные схемы для систем уравнений параболического и гиперболического типов (387). § 3. Метод суммарной аппроксимации 394
1. Составные схемы. Суммарная аппроксимация (394). 2. Методы построения аддитивных схем (397). 3 Аппроксимация «многомерной» задачи Коши системой «одномерных» задач Коши (400). 4. Методы оценки сходимости аддитивной схемы (407). 5. Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности в произвольной области (413). 6. Погрешность аппроксимации локально-одномерной схемы (417). 7. Устойчивость локально-одномерной схемы (418). 8. Равномерная сходимость локально-одномерной схемы (423). 9. Локально-одномерная схема для уравнений с переменными коэффициентами (425). 10. Продольно-поперечная схема как аддитивная схема (427). 11. Локально-одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения второго порядка (429). 12. Аддитивные схемы для систем уравнений (438).
Задачи к главе VII 443
Глава VIII. Итерационные методы решения разностных эллиптических 449 уравнений
§ 1. Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле 449 1. Итерационные схемы (449). 2. Схема простой итерации (явная схема) (454). 3. Неявный метод переменных направлений (продольно-поперечная схема) (457). 4. Выбор итерационных параметров (461). 5. Итерационная схема для разностной задачи Дирихле повышенного порядка точности (466). 6. Метод переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле (470).
§ 2. Теория итерационных двухслойных схем общего вида 475
1. Итерационная схема с чебышевским набором параметров (475). 2. Основная теорема для стационарных схем (490). 3. Вычисление нормы оператора перехода двухслойной схемы с весами (491). 4. Неявный метод переменных направлений для случая неперестановочных операторов (492). 5. Факторизованные итерационные схемы (497). 6. Факторизованный оператор В с перестановочными операторами Ri и R2 (501),
§ 3. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений 503
1. Метод переменных направлений в случае несамосопряженных операторов (503). 2. Случай несамосопряженного оператора перехода (505). 3. Оценка при увеличении объема информации (506). 4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод минимальных поправок (509). 5. Двухступенчатый метод (513).
§ 4. Трехслойные итерационные схемы 517
1. Постановка задачи (518). 2. Выбор итерационных параметров (519). 3. Явная схема (521). 4. Оценка скорости сходимости явной схемы (522). 5. Априорные оценки для неявной схемы в энергетических пространствах (525). 6. Факторизованные схемы (526). 7. Двухступенчатый метод (527). Дополнение. Некоторые варианты метода прогонки 529
§ 1. Потоковый вариант метода прогонки для разностных задач с сильно меняющимися коэффициентами 529
§ 2. Матричная прогонка 532
§ 3. Циклическая прогонка 535
Литература 538
Предметный указатель 551
Часть 1
Часть 2
