Сергеев И.Н. Лекции по дифференциальным уравнениям (1, 2 семестры)

Сергеев И.Н. Лекции по дифференциальным уравнениям (1, 2 семестры). _ М., МГУ, 2004. -160 с.
Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям, читавшихся автором в осеннем семестре второго курса механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова и связанных с геометрической интерпретацией дифференциального уравнения, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе и с постоянными коэффициентами.
Даны точные определения, подробно доказаны сформулированные утверждения, теоретически обоснованы наиболее важные методы решения задач. Приведены все необходимые теоретические сведения, сопутствующие понятия и факты из смежных разделов математики. Предложены задачи для самостоятельного решения, развивающие и углубляющие прочитанный материал и, тем самым, позволяющие лучше подготовиться к экзамену. Для студентов и аспирантов, изучающих классическую теорию обыкновенных дифференциальных уравнений.
Содержание
1 Обыкновенное дифференциальное уравнение .... 5
2 Некоторые соглашения и обозначения ............5
1 Поля направлений на плоскости 6
1.1 Поле направлений уравнения первого порядка ... 6
1.2 Уравнение первообразной..............................7
1.3 Обобщение понятия интег ральной кривой............9
1.4 Уравнение в дифференциалах..........................10
1.5 Расширение уравнения первообразной................12
1.6 Автономное уравнение..................................14
1.7 Уравнение в полных дифференциалах................16
1.8 Уравнение с разделяющимися переменными .... 18
1.9 Вопросы и задачи для самостоятельного решения , 18
2 Существование, единственность и продолжаемость решений 20
2.1 Задача Коши для нормальной системы ..............20
2.2 Формулировка локальной теоремы существования
и единственности.....................23
2.3 Сведение задачи Коши к интегральному уравнению 24
2.4 Операторная норма, оценка конечных приращений 24
2.5 Принцип сжимающих отображений, равномерная метрика....................................................25
2.6 Доказательство теоремы................................27
2.7 Варианты формулировок локальной теоремы .... 29
2.8 Теорема единственности в целом......................30
2.9 Непродолжаемые решения..............................31
2.10 Теорема продолжаемости................................32
2.11 Лемма Гронуолла — Беллмана........................35
2.12 Теорема продолжаемости для линейной системы . . 36
2.13 Ломаная Эйлера..........................................37
2.14 Теорема Арцела — Деколи..............................38
2.15 Теорема Пеано............................................40
2.16 Сведение уравнения произвольного порядка к нормальной системе....................................42
2.17 Теоремы существования, единственности и продолжаемости для уравнения................................44
2.18 Теорема продолжаемости для линейного уравнения 45
2.19 Вопросы и задачи для самостоятельного решения . 46
3 Общая теория линейных уравнений и систем 49
3.1 Линейное пространство функций......................49
3.2 Общее решение линейной однородной системы ... 49
3.3 Определитель Вронского вектор-функций............51
3.4 Фундаментальная матрица..............................52
3.5 Оператор Коши..........................................53
3.6 Формула Лиувилля — Остроградского................55
3.7 Общее решение линейной неоднородной системы . . 57
3.8 Метод вариации постоянных для системы............58
3.9 Общее решение линейного уравнения .................59
3.10 Определитель Вронского скалярных функций ... 62
3.11 Восстановление линейного уравнения по фундаментальной системе его решений..........................63
3.12 Метод вариации постоянных для уравнения..........64
3.13 Нули решений уравнения второго порядка..........65
3.14 Теорема Штурма ........................................67
3.15 Оценки колеблемости....................................69
3.16 Краевая задача ..........................................71
3.17 Вопросы и задачи для самостоятельного решения . 72
4 Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами 75
4.1 Экспонента оператора ..................................75
4.2 Связь экспоненты с линейной однородной системой 75
4.3 Комплексификация линейного оператора............76
4.4 Комплексификация линейной системы................78
4.5 Жорданова форма матрицы............................79
4.6 Вычисление экспоненты матрицы......................80
4.7 Решение системы с помощью жордановой формы . 82
4.8 Квазимногочлены ... . ......................83
4.9 Метод неопределенных коэффициентов . .85
4.10 Линейное уравнение с постоянными коэффициентами 86
4.11 Характеристический многочлен линейного уравнения 88
4.12 Уравнение с квазимногочленом в правой части ... 90
4.13 Вопросы и задачи дня самостоятельного решения . 93

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗