Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики.— М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1982. — 256 с.
В основу книги положен годовой курс лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на отделении математики механико-математического факультета МГУ. Основные понятия и факты теории вероятностей вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у читателя не предполагается знание никаких предварительных сведений об интегрировании по Лебегу.
В книге содержатся следующие разделы: независимые испытания цепи Маркова, предельные теоремы Муавра — Лапласа и Пуассона, случайные величины, характеристические и производящие функции, закон больших чисел, центральная предельная теорема, основные понятия математической статистики, проверка статистических гипотез, статистические оценки, доверительные интервалы.
Для студентов младших курсов университетов и втузов, изучающих теорию вероятностей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................Т
Глава I. Вероятностное пространство ........9
§ 1. Предмет теории вероятностей.........9
§ 2. События..................
§ 3. Вероятностное пространство..........
§ 4. Конечное вероятностное пространство. Классическое
определение вероятности ............
§ 5. Геометрические вероятности..........23
Задачи.....................24
Глава 2. Условные вероятности. Независимость . . . . 26
§ 6. Условные вероятности.............26
§ Формула полной вероятности..........28
§ Формулы Байеса...............29
§ 9. Независимость событий............30
§ 10. Независимость разбиений, алгебр и сигма-алгебр .... 33
§ 11. Независимые испытания............35
Задачи.....................39
Глава 3. Случайные величины (конечная схема) .... 41
§ 12. Случайные величины. Индикаторы.......41
§ 13. Математическое ожидание...........45
§ 14. Многомерные законы распределения . . . .... 50
§ 15. Независимость случайных величин ........ 53
§ 10. Евклидово пространство случайных величин .... 56
§ 17. Условные математические ожидания.......5D
§ 18. Неравенство Чебышева Закон больших чисел .... 61
Задачи.....................64
Глава 4. Предельные теоремы в схеме Бернулли ... .65
§ 19. Биномиальное распределение..........65
§ 20. Теорема Пуассона.............66
§ 21. Локальная предельная теорема Муавра — Лапласа . . 70
§ 22. Интегральная предельная теорема Муавра — Лапласа 71
§ 23. Применения предельных теорем ....... •73
Задачи.....................76
Глава 5. Цепи Маркова ............ . 77
§ 24. Марковская зависимость испытаний.......77
§ 25. Переходные вероятности............78
§ 26. Теорема о предельных вероятностях.......80
Задачи.....................83
Глава 6. Случайные величины (общий случай) ..... 84
§ 27. Случайные величины и их распределения.....84
§ 28. Многомерные распределения..........92
§ 29. Независимость случайных величин........96
Задачи.....................98
Глава 7. Математическое ожидание .........100
§ 30. Определение математического ожидания ..... 100
§ 31. Формулы для вычисления математического ожидания 108
Задачи.....................115
Глава 8. Производящие функции ..........117
§ 32. Целочисленные случайные величины и их производящие функции................117
§ 33. Факториальные моменты............118
§ 34. Мультипликативное свойство..........120
§ 35. Теорема непрерывности............123
§ 36. Ветвящиеся процессы.............125
Задачи..........................127
Глава 9. Характеристические функции ........129
§ 37. Определение и простейшие свойства характеристических функций................129
§ 38. Формулы обращения для характеристических функций 136
§ 39. Теорема о непрерывном соответствии между множеством характеристических функций и множеством
функций распределения............140
Задачи.....................145
Глава 10. Центральная предельная теорема ......146
§ 40. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных независимых слагаемых ......146
§ 41. Теорема Ляпунова..............147
§ 42. Применения центральной предельной теоремы .... 150
Задачи.....................153
Глава II. Многомерные характеристические функции . . ..154
§ 43. Определение и простейшие свойства.......154
§ 44. Формула обращения.............158
§ 45. Предельные теоремы для характеристических функций 159
§ 46. Многомерное нормальное распределение и связанные с
ним распределения..............164
Задачи.....................173
Глава 12. Усиленный закон больших чисел .......174
§ 47. Лемма Бореля — Кантелли. Закон "О или 1" Колмогорова ...................174
§ 48 Различные виды сходимости случайных величин . .. . 177
§ 49. Усиленный закон больших чисел.........181
Задачи.....................188
Глава 13. Статистические данные ..........189
§ 50. Основные задачи математической статистики .... 189
§ 51. Выборочный метод..............190
Задачи.....................194
Глава 14. Статистические критерии ..........195
§ 52. Статистические гипотезы............195
§ 53. Уровень значимости и мощность критерия.....197
§ 54. Оптимальный критерий Неймана — Пирсона .... 199
§ 55. Оптимальные критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений 201
§ 56. Критерии для проверки сложных гипотез.....234
§ 57. Непараметрические критерии..........206
Задачи.....................211
Глава 15. Оценки параметров ............213
§ 58. Статистические оценки и их свойства.......213
§ 59. Условные законы распределения.........216
§ 60. Достаточные статистики............220
§ 61. Эффективность оценок.............223
§ 62. Методы нахождения оценок..........228
Задачи.....................232
Глава 16. Доверительные интервалы .......234
§ 63. Определение доверительных интервалов......234
§ 64. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения .............. 236
§ 65. Доверительные интервалы для вероятности успеха в
схеме Бернулли ..............240
Задачи ..................... 244
Ответы к задачам.......................245
Таблицы нормального распределения...........251
Литература.....................253
