Ширяев А.Н. Вероятность. - М., 1980. - 574 с.
Настоящее учебное пособие представляет расширенный трехсеместровый курс лекций по теории вероятностей, который читался автором в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского государственного университета. Первая часть посвящена элементарной теории вероятностей и предназначена для первичного ознакомления с предметом. Во второй части излагаются математические основания теории вероятностей, базирующиеся на аксиоматике Колмогорова. В третьей части рассматриваются случайные процессы с дискретным временем - случайные последовательности (стационарные, марковские, мартингалы). Во введении дан исторический очерк становления теории вероятностей. В историко-библиографической справке приводятся источники результатов и указывается дополнительная литература.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 6
ВВЕДЕНИЕ 9
ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 14
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов 14
§ 2. Некоторые классические модели и распределения 27
§ 3. Условные вероятности. Независимость 34
§ 4. Случайные величины и их характеристики 43
§ 5. Схема Бернулли. Закон больших чисел 57
§ 6. Схема Бернулли. Предельные теоремы (локальная, Муавра — Лапласа, Пуассона) 67
§ 7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли 80
§ 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений 86
§ 9. Случайное блуждание. I. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты 94
§ 10. Случайное блуждание. II. Принцип отражения. Закон арксинуса 105
§11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 114
§ 12. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство 121
ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 144
§ 1. Вероятностная модель 144
эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова
§ 2. Алгебры и а-алгебры. 152
Измеримые пространства
§ 3. Способы задания 166
вероятностных мер на измеримых пространствах
§ 4. Случайные величины. I 186
§ 5. Случайные элементы 192
§ 6. Интеграл Лебега. 197
Математическое ожидание
§ 7. Условные вероятности и условные математические ожидания относительно сигма-алгебр 226
§ 8. Случайные величины. II 248
§ 9. Построение процесса с 260
заданными конечномерными распределениями
§ 10. Разные виды сходимости 267 последовательностей случайных величин
§ 11. Гильбертово пространство 279 случайных величин с конечным вторым моментом
§ 12. Характеристические функции 292
§ 13. Гауссовские системы 316
ГЛАВА III. СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕР. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 328
§ 1. Слабая сходимость 328
вероятностных мер и распределений
§ 2. Относительная компактность 337 и плотность семейств вероятностных распределений
§ 3. Метод характеристических 342 функций в доказательстве предельных теорем
§ 4. Центральная предельная 350 теорема
§ 5. Безгранично делимые и 357
устойчивые распределения
ГЛАВА IV. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 366
§ 1. Законы «нуля или единицы» 366
§ 2. Сходимость рядов 371
§ 3. Усиленный закон больших 376 чисел
§ 4. Закон повторного логарифма 384
ГЛАВА V. СТАЦИОНАРНЫЕ (В УЗКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 390
§ 1. Стационарные (в узком смысле) случайные последовательности. Сохраняющие меру преобразования 390
§ 2. Эргодичность и перемешивание 393
§ 3. Эргодические теоремы 396
ГЛАВА VI. СТАЦИОНАРНЫЕ (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 402
§ 1. Спектральное представление ковариационной функции 402
§ 2. Ортогональные стохастические меры и стохастические интегралы 412
§ 3. Спектральное представление стационарных (в широком смысле) последовательностей 418
§ 4. Статистическое оценивание 430 ковариационной функции и спектральной плотности
§ 5. Разложение Вольда 437
§ 6. Экстраполяция, интерполяция и фильтрация 445
§ 7. Фильтр Кал мана—Ььюси и его обобщения 457
ГЛАВА VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОБРАЗУЮЩИЕ МАРТИНГАЛ 467
§ 1. Определения мартингалов и родственных понятий 467
§ 2. О сохранении свойства мартингалыюсти при замене времени на случайный момент 477
§ 3. Основные неравенства 484
§ 4. Основные теоремы о сходимости субмартингалов и мартингалов 496
§ 5. О множествах сходимости 503 субмартингалов и мартингалов
§ 6. Абсолютная непрерывность 511 и сингулярность вероятностных распределений
§ 7. Об асимптотике вероятности 524 выхода случайного блуждания за криволинейную границу
ГЛАВА VIII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОБРАЗУЮЩИЕ МАРКОВСКУЮ ЦЕПЬ 529
§ 1. Определения и основные свойства 529
§ 2. Классификация состояний марковской цепи по арифметическим свойствам переходных вероятностей 534
§ 3. Классификация состояний 533 марковской цепи по асимптотическим свойствам вероятностей
§ 4. О существовании предельных и стационарных распределений 549
§ 5. Примеры 554
ИСТОРИКО-БИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА 562
ЛИТЕРАТУРА 566
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 569
Часть 1
Часть 2
