Ширяев А. Н. Вероятность. В 2-х кн. Кн.1. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2004. - 520 с
Настоящее издание (в двух книгах "Вероятность - 1" и «Вероятность — 2») представляет собой расширенный курс лекций по теории вероятностей.
Первая книга «Вероятность—1» содержит материал, относящийся к элементарной теории вероятностей, и может служить пособием для первичного ознакомления с предметом. Большой материал отводится математическим основаниям теории вероятностей, базирующимся на аксиоматике Колмогорова, рассматриваются основные вопросы предельных теорем теории вероятностей.
Книги рассчитаны на студентов физико-математических специальностей университетов. Могут служить учебным пособием для аспирантов и справочным пособием для специалистов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
КНИГА ПЕРВАЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ - 1
Предисловие к третьему изданию................................................................7
Предисловие ко второму изданию................................................................9
Предисловие к первому изданию ................................................................11
Введение......................................................................................14
Глава I. Элементарная теория вероятностей........................................20
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с конечным числом исходов...................21
§ 2. Некоторые классические модели и распределения........................36
§ 3. Условные вероятности. Независимость............................................43
§ 4. Случайные величины и их характеристики......................................53
§ 5. Схема Бернулли. I Закон больших чисел........................................67
§ 6. Схема Бернулли. II. Предельные теоремы (локальная, Муавра—Лапласа, Пуассона)...............78
§7. Оценка вероятности «успеха» в схеме Бернулли..........................94
§ 8. Условные вероятности и математические ожидания относительно разбиений..................100
§ 9. Случайное блуждание. I. Вероятности разорения и средняя продолжительность при игре с бросанием монеты.........................109
§ 10. Случайное блуждание. II. Принцип отражения. Закон арксинуса 120
§ 11. Мартингалы. Некоторые применения к случайному блужданию 128
§ 12. Марковские цепи. Эргодическая теорема. Строго марковское свойство...................136
Глава II. Математические основания теории вероятностей 160
§ 1. Вероятностная модель эксперимента с бесконечным числом исходов. Аксиоматика Колмогорова.......................161
§2. Алгебры и сигма-алгебры. Измеримые пространства..........................171
§ 3. Способы задания вероятностных мер на измеримых пространствах..................................................191
§4. Случайные величины. I ...........................................214
§5. Случайные элементы .............................................................221
§6. Интеграл Лебега. Математическое ожидание..................................226
§7. Условные вероятности и условные математические ожидания
относительно сигма-алгебр.............................................................266
§8. Случайные величины. II...........................................................300
§9. Построение процесса с заданными конечномерными распределениями ..................314
§10. Разные виды сходимости последовательностей случайных величин .....................324
§11. Гильбертово пространство случайных величин с конечным вторым моментом...........338
§ 12. Характеристические функции.....................................................352
§ 13. Гауссовские системы.......................................................380
Глава III. Близость и сходимость вероятностных мер. Центральная предельная теорема....396
§ 1. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений............397
§ 2. Относительная компактность и плотность семейств вероятностных распределений............407
§ 3. Метод характеристических функций в доказательстве предельных теорем ..................413
§4. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. L Условие Линдеберга ..........................................421
§ 5. Центральная предельная теорема для сумм независимых случайных величин. И. Неклассические условия..................................433
§ 6. Безгранично делимые и устойчивые распределения......................438
§ 7. «Метризуемость» слабой сходимости ..............................................447
§8. О связи слабой сходимости мер со сходимостью случайных
элементов почти наверное ..................................................................452
§ 9. Расстояние по вариации между вероятностными мерами. Расстояние Какутани—Хеллингера и интегралы Хеллингера. Применение к абсолютной непрерывности и сингулярности мер ... 460
§ 10. Контигуальность (сближаемость) и полная асимптотическая
разделимость вероятностных мер......................................................470
§ 11. О скорости сходимости в центральной предельной теореме.....................475
§ 12. О скорости сходимости в теореме Пуассона..................................479
§ 13. Фундаментальные теоремы математической статистики..............481
Библиографическая справка (главы I—III)................................................492
Список литературы...................................................................496
Предметный указатель..............................................................502
Указатель обозначений...........................................................516
Часть 1
Часть 2
