Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учеб. пособие для физ.-мат. факультетов пед. институтов. - Мн., 1982. - 223с.
Сборник составлен в соответствии с действующей программой курса «Алгебра и теория чисел» для пединститутов. В нем содержатся задачи как по традиционным, так и по новым темам курса: элементы математической логики и теории множеств, комплексные числа, линейная алгебра, делимость и сравнения п кольце целых чисел, основные алгебраические системы, кольца многочленов и др.
Для студентов математических факультетов пединститутов. Он будет также полезен студентам-математикам университетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................3
1. Элементы математической логики и теории множеств
1.1. Высказывания............................5
1.2. Множества..............................6
1.3. Кванторы............................§
1.4. Бинарные отношения............11
1.5. Натуральные числа. Метод математической индукции. Соединения.......15
2. комплексные числа
2.1. Алгебраическая форма комплексного числа......18
2.2. Тригонометрическая форма комплексного число.....20
2.3. Геометрическая интерпретация комплексного числа .......23
3. Матрицы и определители
3.1. Матрицы...............26
3.2. Определители...........29
3.3. Обратимые матрицы .........33
3.4. Правило Крамера .........36
4. Линейные пространства
4.1. Простейшие свойства. Линейная зависимость .......38
4.2. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных .......41
4.3. Ранг системы векторов. Ранг матрицы.......44
4.4. Изоморфизм, базис, размерность.........47
4.5. Подпространство. Однородные системы. Линейные многообразия ......50
4.6. Евклидовы пространства...........53
5. Линейные операторы
5.1. Определение и простейшие свойства линейных Преобразований.....57
5.2. Матрица линейного оператора. Матрица перехода к новому базису....60
5.3. Собственные векторы................62
6. Линейные неравенства
6.1. Системы линейных неравенств ................65
6.2. Линейное программирование ............68
7. делимость в кольце
7.1. Отношение делимости............70
7.2. Деление с остатком........72
7.3. НОД и НОК целых чисел . ..........74
7.4. Конечные цепные дроби....... 77
7.5. Простые числа............7Я
7.6. Числовые функции..........110
7.7. Систематические числа.......
8. ГРУППЫ
8.1. Алгебраическая операции, Полугруппы ..........83
8.2. Примеры групп...............88
8.3. Простейшие свойства группы..........88
8.4. Подгруппы, смежны® классы, нормальные подгруппы, гомоморфизмы .........90
9. кольца
9.1. Кольцо, подкольцо...........94
9.2. Область целостности, Поле .........96
9.3. Идеалы коммутативных колец ........99
9.4. Гомоморфизмы коммутативных колец .........102
9.5. Упорядоченное поле.............105
10. сравнения в КОЛЬЦЕ Z
10.1. Простейшие свойства сравнений .........106
10.2. Группа классов вычетов, взаимно-простых с модулем ......108
10.3. Сравнения с одним неизвестным..........111
10.4. Порядок числа по данному модулю. Первообразные корни. Индексы...............112
10.5. Степенные вычеты.....................114
11. кольцо МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
11.1. Отношение делимости в кольце многочленов ........117
11.2. Деление многочлена на линейный двучлен......118
11.3. Многочлены над полем...........119
11.4. Производная многочлена над полем нулевой характеристики. Кратные множители............121
11.5. Многочлены над С и над R ..........123
12. кольцо МНОГОЧЛЕНОВ ОТ п ПЕРЕМЕННЫХ
12.1. Многочлены от n переменных............126
12.2. Симметрические многочлены..........127
12.3. Результант. Системы алгебраических уравнений .........128
13. Алгебраические числа
13.1. Многочлены над полем Q..............131
13.2. Простое и конечное расширение поля ........132
13.3. Алгебраические числа ........133
13.4. Разрешимость задач на построение ........136
Решения..............137
Ответы и указания.............187
Литература .......220
