Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой. Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала.
Рецензенты: кафедра высшей математики МВТУ им. Баумана и ст. преп. А. П. Сильванович.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.............................. 3
Глава 1. Метод координат. Понятие функции
§ 1. Действительные числа. Координаты точки на прямой........ 4
1. Понятие действительного числа (4). 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой (5). 3. Абсолютная величина действительного числа (6). 4. Расстояние между двумя точками на прямой (8).
§ 2. Координаты на плоскости и в пространстве............. 8
1. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Метод координат (8). 2. Расстояние между двумя точками на плоскости (10). 3. Деление отрезка в данном отношении (10). 4. Координаты точки в пространстве (12). б. Расстояние между двумя точками в пространстве (13).
§ 3. Угол между двумя осями. Полярные координаты.......... 14
1. Угол между двумя осями (14). 2. Полярные координаты (15). 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами (17).
§ 4. Функциональная зависимость ................... 18
1. Переменные величины (18). 2. Понятие функции (19). 3. График функции (21). 4. Способы задания функций (22). 5. Основные элементарные функции и их графики (24). 6. Сложные функции. Элементарные функции (26). 7. Целые и дробно-рациональные функции (27).
8. Функции четные и нечетные. Периодические функции (28).
§ 5. Уравнение линии......................... 30
1. Определение линии с помощью уравнения (30). 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам (32).
§ 6. Преобразование координат..................... 34
1. Параллельный перенос осей координат (34). 2. Поворот осей координат (35).
Глава II. Аналитическая геометрия на плоскости
§ 1. Прямая.............................. 37
1. Угол между двумя прямыми (37). 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (37). 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат (39). 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи (40). 5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению (41). 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых (42). 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении (44). 8. Пучок прямых (45).
9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (46). 10. Расстояние от точки до прямой (47).
§ 2. Кривые второго порядка...................... 49
1. Определение кривой второго порядка (49). 2. Окружность (50). 3. Эллипс (51). 4. Гипербола (55). 5. Парабола (59). 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения (61). 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена (62). 8. Уравнение равносторонней гиперболы, оси которой приняты за оси координат (63). 9. График дробно-линейной функции (64). 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат (65).
Глава III. Элементы векторной и линейной алгебры
§ 1. Элементы теории определителей .................. 68
1. Определители второго порядка и их свойства (68). 2. Определители третьего порядка (69). 3. Понятие об определителях высших порядков (73).
§ 2. Системы уравнений первой степени................. 74
1. Система двух уравнений с двумя неизвестными (74). 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными (77).
3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными (78).
4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными (81).
§ 3. Элементы векторной алгебры.................... 81
1. Скалярные и векторные величины (81). 2. Линейные операции над векторами (83). 3. Угол между двумя векторами (86). 4. Проекция вектора на ось и составляющая вектора по оси (86). 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат (89). 6. Направляющие косинусы вектора (91). 7. Условие коллинеарности двух векторов (92). 8. Скалярное произведение (92). 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов (95). 10. Косинус угла между двумя векторами (96). 11. Векторное произведение (96). 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов (99). 13. Смешанное произведение трех векторов (101). 14. Геометрический смысл смешанного произведения (102). 15. Условие компланарности трех векторов (102).
§ 4. Матрицы и действия над ними................... 104
1. Понятие о матрице (104). 2. Равенство матриц. Действия над матрицами (105). 3. Обратная матрица (109). 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени (112).
§ 5. Линейные отображения ...................... 114
1. Основные понятия (114). 2. Преобразование координат (117). 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду (121). 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка (126).
Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
§ 1. Плоскость ............................. 129
1. Уравнение поверхности (129). 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку (130). 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи (131). 4. Построение плоскости по ее уравнению (133). 5. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей (134). 6. Точка пересечения трех плоскостей (136).
§ 2. Прямая в пространстве ..................... . 137
1. Уравнения линии в пространстве (137). 2. Общие уравнения прямой (137). 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой (138). 4. Канонические уравнения прямой (139). 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки (142). 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых (142).
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве ................ 144
1. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (144). 2. Точка пересечения прямой с плоскостью (145). 3. Расстояние от точки до плоскости (147). 4. Пучок плоскостей (147).
§ 4. Поверхности второго порядка ................... 149
1. Сфера (149). 2. Цилиндрические поверхности (150). 3. Конические поверхности (152). 4. Поверхность вращения (153). 5. Эллипсоид (155). 6. Гиперболоиды (156). 7. Параболоиды (159).
Глава V. Теория пределов
§ 1. Предел функции ......................162
1. Предел функции при х (162). 2. Предел функции при х (165). 3. Предел функции при х (166). 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции (168). 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями (172). 6. Основные теоремы
I sin х о пределах ,(174). 7. Предел функции - при х-+0 (180). 8. Последовательность. Число е (182). 9. Натуральные логарифмы (188). 10. Сравнение бесконечно малых функций (188).
§ 2. Непрерывные функции.................191
1. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва (191). 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций (195). 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте (198). 4. Понятие об обратной функции (200). 5. Обратные тригонометрические функции (203.). 6, Показательная и логарифмическая функции (205). 7. Понятие о гиперболических функциях (205).
Глава VI. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 1. Производная ........................... 207
1. Приращение аргумента и приращение функции (207). 2. Определение непрерывности функции с помощью понятий приращения аргумента и приращения функции (208). 3. Задачи, приводящие к понятию производной (208). 4. Определение производной и ее механический смысл (210). 5. Дифференцируемость функции (211). 6. Геометрический смысл производной (212). 7. Производные некоторых основных элементарных функций (214). 8. Основные правила дифференцирования (217). 9. Производная обратной функции (220). 10. Производные обратных тригонометрических функций (220). 11. Производная сложной функции (221). 12. Производные гиперболических функций (223). 13. Производная степенной функции с любым показателем (224). 14. Сводная таблица формул дифференцирования (224). 15. Неявные функции и их дифференцирование (225). 16. Уравнения касательной и нормали к кривой (227). 17. Графическое дифференцирование (228).
§ 2. Производные высших порядков................... 230
1. Нахождение производных высших порядков (230). 2. Механический смысл второй производной (231).
§ 3. Дифференциал функции ...................... 232
1. Дифференциал функции и его геометрический смысл (232). 2. Производная как отношение дифференциалов (235). 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций (235). 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала (235). 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям (236). 6. Дифференциалы высших порядков (239).
§ 4. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование . . . 240 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически (243).
§ 5. Векторная функция скалярного аргумента ............. 245
1. Параметрические уравнения пространственной кривой (245). 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная (246). 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой (248). 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента (250).
§ 6. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях......... 252
1. Теорема Ферма (252). 2. Теорема Ролля (253). 3. Теорема Лагранжа (254). 4. Правило Лопиталя (256).
§ Приложение производной к исследованию функций "и построению графиков ............................... 259
1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции (259). 2. Максимум и минимум функции (262). 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй- производной (266). 4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции (268). 5. Применение теории максимума и минимума к решению задач (269). 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки
перегиба (270). 7. Асимптоты графика функции (273). 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика (276).
§ 8. Приближенное решение уравнений................. 280
1. Нахождение грубо приближенных значений корней графическим методом (281). 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных (281).
§ 9. Интерполяционная формула Лагранжа ............ 286
Глава VII. Неопределенный интеграл
§ 1. Неопределенный интеграл и его свойства.............. 289
1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла (289). 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла (291). 3. Таблица основных интегралов (293). 4. Основные свойства неопределенного интеграла (294).
§ 2. Основные методы интегрирования................. 295
1. Интегрирование методом разложения (295). 2. Интегрирование методом замены переменной (296). 3. Интегрирование по частям (299).
§ 3. Интегрирование рациональных функций .............. 302
1. Некоторые сведения о многочленах (302). 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби (304). 3. Интегрирование простейших рациональных дробей (305). 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби (308). 5. Метод неопределенных коэффициентов (309). 6. Интегрирование рациональных дробей (312).
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций........... 313
1. Интегралы вида где m и n — целые числа (313).
2. Рациональные функции двух переменных (315). 3. Интегралы вида R (sin х; cos х) dx (316).
§ 5. Интегрирование некоторых иррациональных функций........ 318
Часть 1
§ 6. Общие замечания о методах интегрирования. Интегралы, не берущиеся в элементарных функциях........ 324
1. Общие замечания (324). 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях (324).
Глава VIII. Определенный интеграл
§ 1. Задачи, приводящие к определенному интегралу.......... 325
1. Задача о площади (325). 2. Задача о работе переменной силы (327).
§ 2. Определенный интеграл.........................329
1. Интегральная сумма, Определенный интеграл (329). 2. Свойства определенного интеграла (332). 3. Производная интеграла по переменной верхней границе (337). 4. Формула Ньютона-Лейбница (339). 5. Замена переменной в определенном интеграле (341). § 3. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 345 1. Вычисление площади в декартовых координатах (345). 2. Вычисление площади в полярных координатах (348). Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям (350). 4. Объем тела вращения (353). 5. Длина дуги кривой (354). 6. Дифференциал дуги (358).
7. Площадь поверхности вращения (360). 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм (362).
§ 4. Кривизна плоской кривой..................... 365
1. Основные определения (365). 2. Вычисление кривизны (366). 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны (368). 4. Эволюта и эвольвента (370).
§ 5. Несобственные интегралы ..................... 372
1. Интегралы с бесконечными границами (372). 2. Интегралы от разрывных функций (375). 3. Признаки сходимости несобственных интегралов (379).
§ 6. Приближенные методы вычисления определенных интегралов .... 381 1. Общие замечания. Постановка вопроса (381). 2. Метод трапеций (381). 3. Метод параболических трапеций (метод Симисона) (384).
Глава IX. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
§ 1. Функции нескольких переменных ................. 389
1. Функция двух переменных и ее область определения (389). 2. График функции двух переменных (392). 3. Функции трех и большего числа переменных (393).
§ 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции.
Точки разрыва .......................... 395
1. Основные определения (395). 2. Непрерывность функции нескольких переменных (397). 3. Понятие области (397). 4. Точки разрыва (398). 5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (399).
§ 3. Частные производные....................... 400
1. Частные производные первого порядка (400). 2. Геометрический смысл частных производных функций двух переменных (402). 3. Частные производные высших порядков (403).
§ 4. Полный дифференциал функции нескольких переменных...... 405
1. Полное приращение функции (405). 2. Полный дифференциал функции (406). 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям (409).
§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций......... 413
1. Диффенцирование сложных функций (413). 2. Инвариантность формы полного дифференциала (416). 3. Дифференцирование неявных функций (417).
§ 6. Скалярное поле.......................... 419
1. Скалярное поле и его геометрическое изображение (419). 2. Производная по направлению (421). 3. Градиент (424). 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (427). 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных (430).
§ 7. Экстремум функции двух переменных ............... 430
1. Необходимые и достаточные условия существования экстремума (430). 2. Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных (433).
Глава X. Кратные и криволинейные интегралы
§ 1. Двойной интеграл......................... 435
1. Задачи, приводящие к двойному интегралу (435). 2. Двойной интеграл. Теорема существования (437). 3. Свойства двойного интеграла
(440). 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
(441). 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах (448). 6. Приложения двойного интеграла (453).
§ 2. Тройной интеграл......................... 460
1. Задача о массе (460). 2. Тройной интеграл и его свойства (461).
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах (463).
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах (466). 5. Приложения тройного интеграла (468).
§ 3. Криволинейный интеграл ..................... 472
1. Векторное поле (472). 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл (473). 3. Вычисление криволинейного интеграла (476). 4. Формула Остроградского—Грина (481). 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования (483). 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу (487). 7. Криволинейный интеграл по длине дуги (493).
Глава XI. Ряды
§ 1. Числовые ряды.......................... 495
1. Основные определения (495). 2. Геометрическая прогрессия (497).
3. Простейшие свойства числовых рядов (498). 4. Необходимый признак сходимости ряда (499). 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов (501). 6. Знакопеременные ряды (508).
7. Остаток ряда и его оценка (512).
§ 2. Функциональные ряды....................... 516
1. Область сходимости функционального ряда (516). 2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства (517).
§ 3. Степенные ряды.......................... 519
1. Область сходимости степенного ряда (519). 2. Свойства степенных рядов (522). 3. Ряды по степеням разности х—а (524). 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора (525). 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена (529).
§ 4. Приложения рядов к приближенным вычислениям......... 536
1. Вычисление значений функций с помощью рядов (536). 2. Приближенное вычисление интегралов (538).
§ 5. Понятие о функции комплексной переменной. Степенные ряды в комплексной области.......................... 540
1. Понятие о функции комплексной переменной (540). 2. Числовые ряды с комплексными членами (542). 3. Степенные ряды в комплексной области (543).
§ 6. Ряды Фурье............................ 546
1. Периодические процессы и периодические функции (546). 2. Ряд Фурье (547). 3. Сходимость ряда Фурье (549). 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций (552). 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 21 (555).
Глава XII Дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка........... 561
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям, и некоторые общие понятия (561). 2. Дифференциальные уравнения первого порядка (563). 3. Уравнения с разделяющимися переменными (568).
4. Однородные уравнения (571). 5. Линейные уравнения (572). 6. Уравнение в полных дифференциалах (575). 7. Особые решения (576).
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера (578).
§ 2. Дифференциальные уравнения второго порядка..........580
1. Основные понятия (580). 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка (582). 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков (587).
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка...... 589
1. Определение и общие свойства (589). 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (590). 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка (593). 4. Метод вариации произвольных постоянных (595).
§. 4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.....................597
1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (597). 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (600). 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний (607).
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков .....612
1. Определения и общие свойства (612). 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (613) § 6. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов .....616
§ 7. Понятие о системах дифференциальных уравнений ......... 617
1. Общие понятия (617). 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (621).
Приложение 1. Интерполяционная формула Ньютона.......... 624
1. Разности и их свойства (624). 2. Интерполяционная формула Ньютона (626). 3. Численное дифференцирование (629). Приложение 2. Метод наименьших квадратов............... 631
Часть 2
