Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений

Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. Пер. с англ. - М., 1978, 464 с.
Монография известного специалиста в области вычислительной математики. Посвящена теоретическим аспектам численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Содержит обзор новых концепций и результатов, полученных за последние годы в работах математиков разных стран.
Изложение начинается с общих вопросов, связанных с методами дискретизации и анализом ошибок. Рассматриваются проблемы аппроксимации, сходимости и устойчивости. Детально исследуются одношаговые, многошаговые и экстраполяционные алгоритмы. Для каждого из них проводится анализ областей устойчивости и сильной устойчивости, а также даются локальные и интегральные оценки погрешностей.
Книга полезна математикам, работающим в области численных методов, и всем лицам, занимающимся приложениями этих методов. Она доступна студентам университетов и втузов, специализирующимся в области прикладной математики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию................................5
Предисловие и введение..........................................7
Глава 1. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ................13
§ 1.1. Основные определения................................13
1.1.1. Методы дискретизации..........................13
1.1.2. Согласованность................................17
1.1.3. Сходимость....................................20
1.1.4. Устойчивость..................................22
§ 1.2. Результаты об устойчивости..........................24
1.2.1. Существование решения дискретной задачи ... 24
1.2.2. Основная теорема сходимости..................27
1.2.3. Линеаризация ................................29
1.2.4. Устойчивость близких дискретных задач .... 33
§ 1.3. Асимптотические разложения ошибок дискретизации . . 37
1.3.1. Асимптотическое разложение локальной ошибки дискретизации..................................37
1.3.2. Асимптотическое разложение глобальной ошибки дискретизации..................................40
1.3.3. Асимптотические разложения по четным степеням n...... 45
1.3.4. Главные члены ошибки ........................46
§ 1.4. Применения асимптотических разложений............49
1.4.1. Экстраполяция Ричардсона ....................49
1.4.2. Линейная экстраполяция ......................54
1.4.3. Рациональная экстраполяция ..................60
1.4.4. Разностная коррекция ........................62
§ 1.5. Анализ ошибок......................................67
1.5.1. Вычислительная ошибка........................67
1.5.2. Оценки ошибки ..............................69
1.5.3. Сильная устойчивость ........................73
1.5.4. Экстраполяция Ричардсона и оценка ошибки 75
1.5.5. Статистический анализ ошибок округления . . 78
§ 1.6. Некоторые практические аспекты ....................81
Глава 2. ПОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ..............................83
§ 2.1. Предварительные замечания ........... 83
2.1.1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных 83 уравнений......................................83
2.1.2. Сетки..........................................85
2.1.3. Определение пошаговых методов................87
2.1.4. Сужение интервала интегрирования . . . ... 90
2.1.5. Обозначения ..................................93
§ 2.2. Согласованность, сходимость и устойчивость для пошаговых методов........................................96
2.2.1. Наш выбор норм в Еn и Е......................96
2.2.2. Другие определения согласованности и сходимости 98
2.2.3. Другие определения устойчивости ..............101
2.2.4. Норма Спейкера в Е..........................103
2.2.5. Устойчивость близких дискретных задач .... 108
§ 2.3. Сильная устойчивость ПШМ..........................111
2.3.1. Возмущение ЗК1................................111
2.3.2. Дискретизации (ЗК1)..........................117
2.3.3. Экспоненциальная устойчивость для разностных уравнений на [0, ∞) ..........................119
2.3.4. Экспоненциальная устойчивость близких дискретных задач......................................124
2.3.5. Сильная экспоненциальная устойчивость .... 127
2.3.6. Области устойчивости ........................129
2.3.7. Жесткие системы дифференциальных уравнений 132
Глава 3. МЕТОДЫ РУНГЕ — КУТТЫ..........................134
§ 3.1. РК-процедуры ......................................134
3.1.1. Определение РК-процедуры ....................134
3.1.2. Локальное решение и функция приращения . . 137
3.1.3. Элементарные дифференциалы..................139
3.1.4. Разложение локального решения................143
3.1.5. Точная функция приращения ..................146
§ 3.2. Группа РК-схем......................................149
3.2.1. РК-схемы......................................149
3.2.2. Обратные РК-схемы............................154
3.2.3. Эквивалентные производящие матрицы..........157
3.2.4. Явные и неявные РК-схемы ....................162
3.2.5. Симметричные РК-процедуры ..................165
§ 3.3. РК-методы и их порядки ............................166
3.3.1. РК-методы ....................................166
3.3.2. Порядок согласованности ......................169
3.3.3. Построение РК-процедур высокого порядка ... 173
3.3.4. Достижимый порядок m-стадийных РК-процедур 176
3.3.5. Эффективный порядок РК-схем..................181
$ 3.4. Анализ ошибок дискретизации ......................183
3.4.1. Главная функция ошибки......................183
3.4.2. Асимптотическое разложение ошибки дискретизации 187
3.4.3. Главный член глобальной ошибки дискретизации 192
3.4.4. Оценка локальной ошибки дискретизации . . . 196
§ 3.5. Сильная устойчивость РК-методов ....................200
3.5.1. Сильная устойчивость для достаточно больших n 200
3.5.2. Сильная устойчивость для произвольного n. . 206
3.5.3. Области устойчивости РК-методов ..............211
3.5.4. Использование областей устойчивости для общих (ЗК1).......216
3.5.5. Указания насчет общего подхода................220
Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ............223
§ 4.1. Линейные А:-шаговые схемы..........................223
4.1.1. Определения ..................................223
4.1.2. Порядок линейных A-шаговых схем..............230
4.1.3. Построение линейных fc-шаговых схем высокого порядка ................235
§ 4.2. Однородные линейные fc-шаговые методы ............239
4.2.1. Определения. Согласованность..................239
4.2.2. Вспомогательные результаты ..................244
4.2.3. Устойчивость однородных линейных A-шаговых методов.................248
4.2.4. Сходимость....................................253
4.2.5. Наивысший достижимый порядок сходимости . . 257
§ 4.3. Циклические линейные fc-шаговые методы............259
4.3.1. Устойчивость циклических линейных A-шаговых методов...............259
4.3.2. Вспомогательный метод ........................265
4.3.3. Достижимый порядок циклических линейных многошаговых методов..........270
§ 4.4. Асимптотические разложения ........................274
4.4.1. Локальная ошибка дискретизации..............274
4.4.2. Асимптотическое разложение глобальной ошибки дискретизации; предварительные результаты . . 278
4.4.3. Случай отсутствия посторонних существенных корней ............................................281
4.4.4. Случай посторонних существенных корней . . . 288
§ 4.5. Дальнейший анализ ошибок дискретизации............294
4.5.1. Слабая устойчивость............................294
4.5.2. Сглаживание ..................................297
4.5.3. Симметричные линейные A-шаговые схемы . . . 300
4.5.4. Асимптотические разложения по степеням h2 . . 306
4.5.5. Оценка ошибки дискретизации ................310
§ 4.6. Сильная устойчивость линейных многошаговых методов 314
4.6.1. Сильная устойчивость для достаточно больших n........... 314
4.6.2. Области устойчивости линейных многошаговых методов ...................318
4.6.3. Сильная устойчивость для произвольного n. . . . 322
Глава 5. МНОГОСТАДИЙНЫЕ МНОГОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ 325
§ 5.1. Общий анализ ......................................325
5.1.1. Один общий класс многостадийных многошаговых процедур.......................325
5.1.2. Простые m-стадийные А:-шаговые методы .... 329
5.1.3. Устойчивость и сходимость простых т-стадийных fc-шаговых методов..............332
§ 5.2. Предиктор-корректор-методы ........................336
5.2.1. Определения. Подклассы........................336
5.2.2. Устойчивость и порядок предиктор-корректор-методов ..........................339
5.2.3. Анализ ошибки дискретизации..................346
5.2.4. Оценка локальной ошибки дискретизации . . . 351
5.2.5. Оценка глобальной ошибки дискретизации . . . 353
§ 5.3. Предиктор-корректор-методы с промежуточными точками ......................357
5.3.1. Определения ..................................357
5.3.2. Определение коэффициентов и достижимый порядок 359
5.3.3. Устойчивость ПК-методов высокого порядка с промежуточными точками ..............304
§ 5.4. Циклические пошаговые методы ......................361
5.4.1. Определения ..................................366
5.4.2. Устойчивость и распространение ошибки .... 370
5.4.3. Примитивные m-циклические fc-шаговые методы 376
5.4.4. Общие прямые га-циклические А:-шаговые методы 382
§ 5.5. Сильная устойчивость ..............................385
5.5.1. Характеристический многочлен. Области устойчивости .....................385
5.5.2. Области устойчивости ПК-методов..............387
5.5.3. Области устойчивости циклических методов . . 391
Глава 6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ ЗК1 . . . 394
§ 6.1. Методы дискретизации с производными функции f..... 394
6.1.1. Рекуррентное вычисление высших производных локального решения ..............394
6.1.2. Методы степенных рядов ......................397
6.1.3. Теория возмущений Грёбнера — Кнаппа—Ваннера 398
6.1.4. Методы Грёбнера — Кнаппа — Ваннера..........401
6.1.5. Методы Рунге — Кутты — Фельберга ..........405
6.1.6. Многошаговые методы с высшими производными 410
§ 6.2. Общие многозначные методы..........................413
6.2.1. Подход Нордсика..............................413
6.2.2. Предиктор-корректор-методы Нордсика..........418
6.2.3. Эквивалентность обобщенных методов Нордсика ....... 421
6.2.4. Сравнительная оценка методов Нордсика .... 426
§ 6.3. Экстраполяционные методы ..........................427
6.3.1. Структура экстраполяционных методов .... 427
6.3.2. Метод Грэгга ................................429
6.3.3. Сильная устойчивость метода Грэгга............434
6.3.4. Метод экстраполяции Грэгга — Булирша — Штёра 438
6.3.5. Методы экстраполяции для жестких систем . . . 441
Список литературы ..............................................447
Именной указатель..................................................452
Предметный указатель.............................454

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗