Вайнберг М. М. Функциональный анализ

Вайнберг М. М. Функциональный анализ: Спец. курс. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. — М., 1979. — 128 с.
Учебное пособие по программе физико-математических факультетов педагогических институтов представляет собой введение в функциональный анализ. В книге нашли отражение не только основные понятия и результаты (теоремы Хана—Банаха, Штенгауза и т. д.), но и приложения функционального анализа.
В первых двух главах изучаются основные функциональные пространства (метрические, нормированные и, в частности, гильбертово пространство).
Главы III и IV посвящены рассмотрению линейных операторов и функционалов.
В главе V изучаются различные виды сходимости последовательностей элементов пространства и линейных функционалов, причем в последних двух параграфах этой главы рассматриваются вопросы, нужные при изучении избранных вопросов нелинейного функционального анализа, изложенных в § 19—30. Содержание последних 12 параграфов видно из оглавления. Разумеется, многие вопросы функционального анализа не вошли в данное учебное пособие и, в частности, не вошла спектральная теория линейных операторов. Даны также дополнения, в которых содержатся примеры, задачи и следующие вопросы, нужные при изучении данного спецкурса: топологическая степень отображения, функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса, абсолютно непрерывные, функции и неопределенный интеграл Лебега.
В конце книги указана использованная автором литература, причем в библиографии, помещенной в [1], [4] и [5], приведены книги, по которым можно познакомиться с другими вопросами функционального анализа, не вошедшими в данное учебное пособие.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................3
Глава I. Метрические пространства
§ 1. Основные понятия и аксиомы метрического пространства..........5
1.1. Примеры ..............................................—
1.2. Основные понятия ......................................6
1.3. Пространство непрерывных функций ......................7
§ 2. Принцип сжимающих отображений ............................8
2.1. Отображения в метрических пространствах................—
2.2. Теорема существования неподвижной точки преобразования.....9
2.3. Теорема Коши для дифференциальных уравнений..........10
Глава II. Линейные пространства
§ 3. Линейные или векторные пространства ........................12
3.1. Аксиомы линейного пространства ........................—
3.2. Некоторые вспомогательные понятия ......................13
§ 4. Нормированные и банаховы пространства......................—
4.1. Основные понятия ......................................—
4.2. Пространства С, LP, IP....................................14
4.3. Абстрактное гильбертово пространство ..................17
4.4. Неравенство Коши и треугольника........................—
§ 5. Топологические и топологические линейные пространства .... 19
5.1. Общие топологические пространства......................—
5.2. Топологические линейные пространства ..................20
Глава III. Линейные операторы
§ 6. Предварительные понятия и простейшие предложения............22
6.1. Ограниченность и норма ................................—
6.2. Критерий ограниченности линейных операторов............—
6.3. Последовательности линейных операторов .................25
6.4. Сильная и равномерная сходимости. Связь между ними .... 26
§ 7. Пространство линейных ограниченных операторов..............27
7.1. Полнота пространства L (Ех, Eg) ........................—
7.2. Сопряженное пространство и его полнота..................28
§ 8. Теорема Банаха — Штейнгауза ..............................—
8.1. Вспомогательное предложение ............................—
8.2. Теорема Банаха — Штейнгауза ..........................29
§ 9. Обратный оператор ..........................................30
9.1. Линейность оператора, обратного к линейному..............—
9.2. Критерий ограниченности обратного оператора ............—
9.3. Теорема Банаха об обратном операторе....................31
Глава IV. Дальнейшее исследование линейных операторов и линейных пространств
§ 10. Замкнутые операторы ........................................35
10.1. Вспомогательные понятия .............. . —
10.2. Пример замкнутого оператора, не являющегося ограниченным ........36
§ 11. Ортогональность в гильбертовом пространстве. Основные теоремы 36
11.1. Ортогональное дополнение к замкнутому подпространству —
11.2. Теорема о разложении пространства в ортогональную сумму подпространств................37
§ 12. Представление линейных непрерывных функционалов в гильбертовом пространстве............38
§ 13. Представление линейных непрерывных функционалов в некоторых других пространствах ...........39
13.1. Представление линейных непрерывных функционалов в пространствах Лебега...................—
13.2. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространстве lp (р> 1)...................43
13.3. Представление линейных непрерывных функционалов на пространстве непрерывных функций....................46
13.4. Теорема Хана — Банаха и некоторые ее следствия..........—
§ 14. Сопряженные операторы ....................................52
14.1. Ограниченность сопряженного оператора ................53
14.2. Второе сопряженное пространство ..........................—
Глава V. О некоторых видах сходимости элементов нормированного пространства
§ 15. О сильной и слабой сходимости................................55
15.1. Основные понятия и вспомогательные предложения .... —
15.2. Связь между сильной и слабой сходимостями..............—
15.3. Основные теоремы о совпадении сильной и слабой сходимостей 56
15.4. Некоторые предложения о слабом пределе................58
§ 16. О секвенциально слабо замкнутых множествах в нормированных пространствах ...................59
§ 17. О слабой сходимости функционалов..............—
§ 18. О слабой полноте и слабой компактности пространств............60
Глава VI. Некоторые вопросы нелинейного анализа
§ 19. О некоторых видах непрерывности нелинейных отображений ... 61
19.1. Основные определения ..................................—
19.2. Связь между усиленной и полной непрерывностью..........—
§ 20. Произвольная и градиент функционала........................62
20.1. Примеры вычисления градиентов ........................63
20.2. Формула Лагранжа и неравенство Липшица..............—
§ 21. Дифференцируемость по Фреше ..............................64
21.1. Связь между производными по Гато и по Фреше............—
21.2. Основная теорема ......................................—
§ 22. Потенциальные операторы ..................................65
22.1. Оператор Немыцкого ..................................—
22.2. Условия потенциальности операторов ....................66
22.3. Связь между потенциальными операторами и его потенциалом...—
§ 23. Сопряженные и самосопряженные нелинейные операторы .... 67
23.1. Сопряженные нелинейные операторы и их простейшие свойства............—
23.2. Симметрия и кососимметрия ............................68
23.3. Условия сопряженности ................................70
§ 24. Выпуклые функционалы и монотонные операторы................71
24.1. Два определения выпуклого функционала и их эквивалентность —
24.2. Связь между выпуклостью функционала и монотонностью его градиента...........72
§ 25. Полунепрерывные и слабо полунепрерывные снизу функционалы ......73
25.1. О слабой полунепрерывности снизу выпуклых и дифференцируемых по Гато функционалов.....74
25.2. Критерий слабой полунепрерывности снизу функционалов . —
25.3. Опорный функционал (субградиент) и его связь со слабой полунепрерывностью...............75
§ 26. Теоремы существования и единственности минимума............—
26.1. Экстремальные точки функционалов и обобщенная теорема Вейерштрасса.....................—
26.2. Элементарный принцип критической точки................77
26.3. Теоремы существования критических точек................79
§ 27. Вариационный метод исследования нелинейных уравнений ......80
27.1. Идея метода ..........................................—
27.2. Теоремы существования решений ........................81
§ 28. Минимизирующие последовательности ........................83
28.1. Минимизирующие последовательности и некоторые их свойства.....................—
28.2. Корректная постановка задачи минимизации..............85
28.3. Метод наискорейшего спуска ..........................86
28.4. Метод Ритца .............................91
28.5. Метод Ньютона — Канторовича ........................95
§ 29. Монотонные операторы ........................98
29.1. Основные понятия и вспомогательные предложения ....—
29.2. Основные теоремы о монотонных отображениях ......101
§ 30. Метод Галеркина -— Петрова решения нелинейных уравнений......102
30.1. Приближения и системы Галеркина ..................—
30.2. Связь с проекционными методами........................103
30.3. О разрешимости систем Галеркина........................104
30.4. О некоторых свойствах галеркинских приближений..........105
30.5. О сходимости галеркинских приближений к решению нелинейных функциональных уравнений........106
Дополнения
Дополнение 1 .......................... 107
Дополнение II ..........................109
Дополнение III ........................ 112
Дополнение IV .......................... —
Дополнение V .........................123
Использованная литература ..............125