Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. — 4-е изд., перераб. - М., 2004. - 312 с.
Сборник содержит 1425 задач. Наряду с чисто учебным материалом охвачены также вопросы, связанные с приложениями функций комплексного переменного. К некоторым задачам даны указания, а наиболее трудные задачи снабжены решениями.
Предназначается в основном для студентов механико-математических и физико-математических факультетов университетов, соответствующих отделений пединститутов и технических вузов с повышенной программой по математике.
Авторы полагают также, что "Сборник" окажется полезным для лиц, специализирующихся по механике непрерывных сред (гидродинамика, теория упругости) и электротехнике, так как в нем содержится большое число задач либо по непосредственному применению ТФКП к указанным дисциплинам, либо по вопросам, представляющим их математическую основу (конформные отображения, гармонические функции, потенциалы, интегралы типа Коши и т. д.).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .........................................................................5
ГЛАВА I. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.........................7
§ 1. Комплексные числа........................................................7
§ 2. Элементарные трансцендентные функции..........................12
§ 3. Последовательности и числовые ряды ..............................15
§ 4. Функции комплексного переменного..................................18
§ 5. Аналитические и гармонические функции..........................20
ГЛАВА II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ .................27
§ 1. Линейные функции........................................................27
§ 2. Дополнительные вопросы теории линейных преобразований 32
§ 3. Рациональные и алгебраические функции..........................39
§ 4. Элементарные трансцендентные функции..........................47
§ 5. Границы однолистности, выпуклости и звездности..............52
ГЛАВА III. ИНТЕГРАЛЫ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ....................54
§ 1. Интегрирование функций комплексного переменного..........54
§ 2. Интегральная теорема Коши............................................57
§ 3. Интегральная формула Коши ..........................................59
§ 4. Степенные ряды............................................................61
§ 5. Ряд Тейлора..................................................................63
§ 6. Некоторые приложения интегральной формулы Коши и степенных рядов............68
ГЛАВА IV. РЯД ЛОРАНА. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ВЫЧЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ ..72
§ 1. Ряд Лорана....................................................................72
§ 2. Особые точки однозначных аналитических функций............74
§ 3. Вычисление вычетов......................................................77
§ 4. Вычисление интегралов..................................................79
§ 5. Распределение нулей. Обращение рядов ............................96
ГЛАВА V. РАЗЛИЧНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА .........102
§ 1. Функциональные ряды....................................................102
§ 2. Ряды Дирихле................................................................105
§ 3. Интегралы, зависящие от параметра ................................106
ГЛАВА VI. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ЦЕЛЫЕ И МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ .............110
§ 1. Бесконечные произведения..............................................110
§ 2. Разложение в ряды простых дробей и в бесконечные произведения. Суммирование рядов.....113
§ 3. Характеристики роста целых функций..............................116
ГЛАВА VII. ИНТЕГРАЛЫ ТИПА КОШИ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ПУАССОНА И ШВАРЦА ..............120
§ 1. Интегралы типа Коши....................................................120
§ 2. Интеграл Дирихле, гармонические функции, логарифмический потенциал и функция Грина.....126
§ 3. Интеграл Пуассона, формула Шварца, гармоническая мера . 129
ГЛАВА VIII. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ. ОСОБЕННОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА. РИМАНОВЫ ПОВЕРХНОСТИ............135
§ 1. Аналитическое продолжение........................135
§ 2. Особые точки многозначного характера. Римановы поверхности ..................141
ГЛАВА IX. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) ........148
§ 1. Формула Кристоффеля-Шварца........................................148
§ 2. Конформные отображения, осуществляемые с помощью эллиптических функций.......162
ГЛАВА X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ ..............170
§ 1. Приложения к гидромеханике..........................................170
§ 2. Приложения к электростатике..........................................181
§ 3. Приложения к плоской задаче о распределении тепла..........192
ГЛАВА XI. ОБОБЩЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ..........194
§ 1. Квазиконформные отображения........................................194
§ 2. Обобщенные аналитические функции................................200
§ 3. Некоторые интегральные соотношения и двойные интегралы 202
Ответы и решения............................................................204
