Александров П. С. Введение в теорию групп

Александров П. С. Введение в теорию групп. — М., 1980, 144 с.— (Библиотечка «Кваит». Вып. 7)
Книга представляет собой введение в элементарную алгебру и теорию групп, которая находит широкое применение в современной математике и физике, кристаллографии, физике твердого тела и физике элементарных частиц. Все вводимые понятия подробно разъясняются на простых геометрических примерах. В книгу включено дополнение, написанное Ю. П. Соловьевым.
Для школьников, преподавателей, студентов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 5
ВВЕДЕНИЕ 7
Глава I. ПОНЯТИЕ ГРУППЫ 10
§ 1. Простейшие понятия теории множеств 10
1. Сумма множеств (10). 2. Пересечение множеств (II). 3. Отображения или функции (II). 4. Разбиение множества на подмножества (14). § 2. Вводные примеры 20
I. Действия над целыми числами (20). 2. Действия над рациональными числами (20). 3. Повороты правильного треугольника (21). 4. Клейновская группа четвертого порядка (23). 5. Повороты квадрата (24).
§ 3. Определение группы 25
§ 4. Простейшие теоремы о группах 27
1. Произведение любого конечного числа элементов группы. Первое правило раскрытия скобок (27).
2. Нейтральный элемент (29). 3. Обратный элемент (30). 4. Замечания об аксиома,* Группы (32). 5. «Мультипликативная» и «аддитивная» терминология в теории групп (33).
Глава II. ГРУППЫ ПОДСТАНОВОК 36
§ I. Определение групп подстановок 36
§ 2. Понятие подгруппы 40
1. Примеры и определение (40). 2. Условие, чтобы подмножество группы было подгруппой (41). § 3. Подстановки как отображения конечного множества
на себя. Четные и нечетные подстановки 42
1 Подстановки как отображения (42). 2. Чегные и нечетные подстановки (43).
Глава III. ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ. ТЕОРЕМА КЭЛИ 48 § 1. Изоморфные группы 48
§ 2. Теорема Кэли 52
Глава IV. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 55 § 1. Подгруппа, порожденная данным элементом данной
группы. Определение циклической группы 55
§ 2. Конечные и бесконечные циклические группы 56
§ 3. Системы образующих 61
Глава V. ПРОСТЕЙШИЕ ГРУППЫ 63
САМОСОВМЕЩЕНИЙ
§ I. Примеры и определение группы самосовмещений геометрических фигур 63
1. Самосовмещения правильных многоугольников в их плоскости (63). 2. Самосовмещеиия правильного многоугольника в трехмерном пространстве (64). 3. Общее определение группы самосовмещеннй данной фигуры в пространстве или на плоскости (65). § 2. Группы самосовмещений прямой и окружности 65
§ 3. Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды 67
I. Пирамида (67). 2. Двойная пирамида (диэдр) (68). 3. Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба (70). - § 4. Группа поворотов правильного тетраэдра 72
§ 5. Группа поворотов куба и октаэдра 76
§ 6. Группа поворотов икосаэдра и додекаэдра. Общее замечание о группах поворотов правильных многогранников 82
Глава VI. ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ 85
§ I. Сопряженные элементы и подгруппы 85
1. Трансформация одного элемента группы при помощи другого (85). 2. Пример группы тетраэдра (87). 3. Сопряженные элементы (88). 4. Трансформация подгруппы (89). 5. Примеры (92). § 2. Инвариантные подгруппы (нормальные делители) 93 I. Определение (93). 2. Примеры (93).
Глава VII. ГОМОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 96
§ I. Определение гомоморфного отображения и его ядра 96 § 2. Примеры гомоморфных отображений 99
Глава VIII. РАЗБИЕНИЕ ГРУППЫ НА КЛАССЫ ПО ДАННОЙ ПОДГРУППЕ. ФАКТОРГРУППА 104
§ 1. Левосторонние и правосторонние классы 104
1. Левосторонние классы (104). 2. Случай конечной группы G (105). 3. Правосторонние классы
(106). 4. Совпадение правосторонних классов с левосторонними в случае инвариантных подгрупп
(107). 5. Примеры (108).
§ 2. Факторгруппа по данной инвариантной подгруппе 110 I. Определение (ПО). 2. Теорема о гомоморфных отображениях (112).
Добавление. ГРУППЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПОДГРУППЫ. /О. /7. Соловьев 116
I. Группа перемещений плоскости (116). 2. Группа перемещений пространства (123). 3. Конечные под-> группы группы перемещений пространства (134).