Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях — М., 2001.-192 с. 115 илл. ISBN 5-900916-86-3
Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует общих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь материал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособием для работы математического кружка.
Оглавление
Предисловие..............................................5
Введение..................................................7
Глава I. Группы..........................................14
§ 1. Примеры............................................14
§ 2. Группы преобразований..........................18
§ 3. Группы..............................................'20
§ 4. Циклические группы..............................24
§ 5. Изоморфизм........................................26
§ 6. Подгруппы..........................................27
§ 7. Прямое произведение..............................30
§ 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа ..........30
§ 9. Внутренние автоморфизмы ......................32
§ 10. Нормальные подгруппы ..........................34
§ 11. Факторгруппы......................................36
§ 12. Коммутант..........................................37
§ 13. Гомоморфизм ......................................39
§ 14. Разрешимые группы ...... ..................43
§ 15. Подстановки........................................46
Глава II. Комплексные числа..........................51
§ 1. Поля и многочлены...... ....................52
§ 2. Поле комплексных чисел..........................57
§ 3. Единственность поля комплексных чисел ... 62
§ 4. Геометрические представления комплексных чисел....64
§ 5. Тригонометрическая форма комплексных чисел 66
§ 6. Непрерывность......................................69
§ 7. Непрерывные кривые..............................73
§ 8. Отображение кривых. Основная теорема алгебры комплексных чисел........................77
§ 9. Риманова поверхность функции w = хfz .... 82
§ 10. Римановы поверхности более сложных функций 91
§ 11. Функции, выражающиеся в радикалах..........98
§ 12. Группы Галуа многозначных функций.....105
§ 13. Группы Галуа функций, выражающихся в радикалах .......................107
§ 14. Теорема Абеля...................109
Указания, решения, ответы .............115
Предметный указатель....... ..........190
