Прасолов В. В. Задачи по стереометрии: Учебное пособие. — М., 2010. —352 с.: ил.
В книгу включено около 800 задач по стереометрии, снабжённых подробными решениями. Большинство задач по своей тематике относится к школьной программе. Уровень их трудности в основном несколько выше обычных школьных задач, и есть также некоторое количество весьма трудных задач, предназначенных для учащихся математических классов. Задачи разбиты на циклы, связанные общей идеей решения. Внутри каждого цикла задачи расположены в порядке возрастания трудности. Такое разбиение поможет читателю ориентироваться в большом наборе задач и даст ему возможность разобраться непосредственно в заинтересовавшей его теме, не читая подряд всю книгу.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Прямые и плоскости в пространстве 8
§1. Пересечения прямых и плоскостей (8). §2. Углы между скрещивающимися прямыми (9). § 3. Угол между прямой и плоскостью (9). §4. Прямые, образующие равные углы с прямыми и плоскостями (9). §5. Скрещивающиеся прямые (10). §6. Теорема Пифагора в пространстве (11). §7. Метод координат (11).
Решения.....................................13
Глава 2. Проекции, сечения, развёртки 20
§1. Вспомогательные проекции (20). §2. Теорема о трёх перпендикулярах (21). §3. Площадь проекции многоугольника (21). §4. Задачи о проекциях (22). §5. Вспомогательные сечения (22). §6. Задачи о сечениях (23). § 7. Вспомогательные развёртки (23). § 8. Задачи о развёртках (24). Решения ..................................... 24
Глава 3. Объём 34
§1. Объём тетраэдра и пирамиды (34). §2. Объём многогранников (35). §3. Объём круглых тел (35). §4. Свойства объёма (36). §5. Вычисление объёма (36). § 6. Вспомогательный объём (37). § 7. Площадь поверхности. Теоремы Гюльдена (38).
Решения ..................................... 38
Глава 4. Сферы 46
§1. Длина общей касательной (46). §2. Касательные к сферам (46). §3. Две пересекающиеся окружности лежат на одной сфере (47). §4. Касающиеся сферы (47). § 5. Угол между сферами (48). § 6. Разные задачи (48). § 7. Площадь сферической полоски и объём шарового сегмента (49). §8. Радикальная плоскость (50). §9. Полюс и полярная плоскость (51). Решения ..................................... 53
Глава 5. Пространственные многоугольники 64
§ 1. Середины сторон пространственного четырёхугольника (64). § 2. Пространственный четырёхугольник (64). § 3. Обобщённая теорема Мене-лая (64). § 4. Разные задачи (65). § 5. Описанные многоугольники (66). § 6. Ортологические треугольники (66). § 7. Ортологические четырёхугольники (67).
Решения ..................................... 67
Глава 6. Трёхгранные и многогранные углы 76
§1. Полярный трёхгранный угол (76). §2. Неравенства с трёхгранными углами (76). § 3. Теоремы синусов и косинусов (77). § 4. Разные задачи (77). §5. Многогранные углы (78). §6. Теоремы Чевы и Менелая (79). Решения ..................................... 81
Глава 7. Сферическая геометрия 91
§1. Окружности (91). §2. Сферические треугольники (92). §3. Теорема Птолемея (94). § 4. Площадь сферического многоугольника (94). § 5. Геометрические места точек (95). § 6. Телесный угол (95). § 7. Выпуклые многоугольники (96). § 8. Радикальная ось (96).
Решения ..................................... 97
Глава 8. Тетраэдр 108
§1. Медианы и бимедианы тетраэдра (108). §2. Свойства тетраэдра (108). §3. Правильный тетраэдр (110). §4. Тетраэдры, обладающие специальными свойствами (110). §5. Прямоугольный тетраэдр (110). §6. Равно-гранный тетраэдр (111). §7. Ортоцентрический тетраэдр (113). §8. Каркасный тетраэдр (114). § 9. Достраивание тетраэдра (115). § 10. Точка Монжа (116). §11. Изогональное сопряжение (116). §12. Подерный тетраэдр (118). §13. Прямая Эйлера (118). §14. Сфера 12 точек (118). §15. Ортологические тетраэдры (119). §16. Точки Лемуана (120). Решения ..................................... 120
Глава 9. Пирамида и призма 143
§1. Правильная пирамида (143). §2. Произвольная пирамида (143). §3. Призма (144).
Решения ..................................... 144
Глава 10. Геометрические места точек и построения 149
§1. Скрещивающиеся прямые (149). §2. Сфера и трёхгранный угол (150). §3. Разные ГМТ (150). §4. Вспомогательные ГМТ (151). §5. Построения на изображениях (151). § 6. Построения, связанные с пространственными фигурами (152).
Решения ..................................... 152
Глава 11. Векторы 161
§ 1. Простейшие свойства векторов (161). § 2. Скалярное произведение. Соотношения (161). § 3. Скалярное произведение. Неравенства (163). §4. Линейные зависимости векторов (163). §5. Разные задачи (164). § 6. Векторное произведение (164). § 7. Уравнение общего перпендикуляра (166). §8. Выпуклые линейные комбинации (167). §9. Метод усреднения (168).
Решения.....................................170
Глава 12. Геометрические преобразования 185
§1. Параллельный перенос (185). §2. Симметрия относительно точки
(185). § 3. Симметрия относительно прямой (186). § 4. Оси симметрии
(186). § 5. Симметрия относительно плоскости (186). § 6. Плоскости симметрии (187). § 7. Гомотетия (187). § 8. Поворот вокруг прямой (188). §9. Композиции преобразований (189). §10. Классификация движений (189). § 11. Отражения лучей света (190).
Решения ..................................... 191
Глава 13. Выпуклые многогранники 201
§1. Определения выпуклости (201). §2. Разные задачи (202). §3. Признаки невписанности и неописанности (203). §4. Формула Эйлера (203). § 5. Обходы многогранников (204). § 6. Проекции многогранников (205). § 7. Полярные многогранники (206). § 8. Теорема Коши о жёсткости выпуклых многогранников (207).
Решения ..................................... 208
Глава 14. Правильные многогранники 222
§ 1. Основные свойства (223). § 2. Взаимосвязи (224). § 3. Двойственные правильные многогранники (225). § 4. Проекции и сечения (225). § 5. Самосовмещения правильных многогранников (226). § 6. Разные определения (227).
Решения ..................................... 227
Глава 15. Геометрические неравенства 240
§1. Длины и периметры (240). §2. Углы (241). §3. Площади (242). § 4. Объёмы (243). § 5. Разные задачи (244).
Решения ..................................... 244
Глава 16. Задачи на максимум и минимум 258
§ 1. Отрезок с концами на скрещивающихся прямых (258). § 2. Площадь и объём (258). §3. Расстояния и радиусы (259). §4. Разные задачи (259). Решения ..................................... 260
Глава 17. Некоторые методы решения задач 267
§ 1. Правило крайнего (267). § 2. Принцип Дирихле (268). § 3. Выход в пространство (269).
Решения ..................................... 271
Глава 18. Центр масс. Момент инерции. Барицентрические координаты 280
§1. Центр масс и его основные свойства (280). §2. Момент инерции (282). §3. Барицентрические координаты (283).
Решения ..................................... 284
Глава 19. Разные задачи 292
§ 1. Примеры и контрпримеры (292). § 2. Целочисленные решётки (293). § 3. Комбинаторика (294). § 4. Системы точек и фигур (295). § 5. Разрезания (295). § 6. Раскраски (296).
Решения ..................................... 297
Глава 20. Инверсия и стереографическая проекция 313
§1. Свойства инверсии (313). §2. Сделаем инверсию (314). §3. Наборы касающихся сфер (315). §4. Конус (316). §5. Стереографическая проекция (316).
Решения ..................................... 317
Глава 21. Поверхности второго порядка (квадрики) 327
§ 1. Сечения конуса и цилиндра (327). § 2. Прямой круговой конус (328). § 3. Произвольный конус (328). § 4. Эллипсоид (328). § 5. Однополост-ный гиперболоид и гиперболический параболоид (329). § 6. ГМТ (332). § 7. Свойства квадрик (332). § 8. Классификация квадрик (332). Решения ..................................... 333
Глава 22. Аффинные и проективные преобразования 341
§1. Аффинные преобразования (341). §2. Центральная проекция (342). § 3. Проективные преобразования (342).
Решения ..................................... 343
Предметный указатель 346
