Прасолов В. В. Задачи по планиметрии

Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. — 5-е изд., испр. и доп. — М., 2006.— 640 с.: ил.
Книга может использоваться в качестве задачника по геометрии для 7—11 классов в сочетании со всеми действующими учебниками по геометрии. В неё включены нестандартные геометрические задачи несколько повышенного по сравнению со школьными задачами уровня. Сборник содержит около 1900 задач с полными решениями и около 150 задач для самостоятельного решения.
С помощью этого пособия можно организовать предпрофильную и профильную подготовку по математике, элективные курсы по дополнительным главам планиметрии.
Материалы данного пособия полностью покрывают тематику и сложность заданий олимпиад всех уровней и всех видов экзаменов, включая ЕГЭ и вступительные экзамены в вузы.
Для школьников, преподавателей математики, руководителей математических кружков, студентов педагогических институтов и университетов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 10
Глава 1. Подобные треугольники 11
§1. Отрезки, заключённые между параллельными прямыми (12). §2. Отношение сторон подобных треугольников (13). §3. Отношение площадей подобных треугольников (15). §4. Вспомогательные равные треугольники (16). §5. Треугольник, образованный основаниями высот (17). §6. Подобные фигуры (18). Задачи для самостоятельного решения (18). Решения.................................... 20
Глава 2. Вписанный угол 30
§1. Углы, опирающиеся на равные дуги (31). §2. Величина угла между двумя хордами (32). §3. Угол между касательной и хордой (33). §4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (34). §5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (35). §6. Вписанный угол и подобные треугольники (36). §7. Биссектриса делит дугу пополам (37). §8. Вписанный четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями (38). §9. Три описанные окружности пересекаются в одной точке (39). §10. Точка Микеля (40). §11. Разные задачи (40). Задачи для самостоятельного решения (41).
Решения.................................... 42
Глава 3. Окружности 55
§1. Касательные к окружностям (56). §2. Произведение длин отрезков хорд (57). §3. Касающиеся окружности (58). §4. Три окружности одного радиуса (59). § 5. Две касательные, проведённые из одной точки (59). §6. Применение теоремы о высотах треугольника (60). §7. Площади криволинейных фигур (61). §8. Окружности, вписанные в сегмент (61). §9. Разные задачи (62). §10. Радикальная ось (63). §11. Пучки окружностей (65). Задачи для самостоятельного решения (66). Решения.................................... 66
Глава 4. Площадь 81
§1. Медиана делит площадь пополам (81). §2. Вычисление площадей (82). §3. Площади треугольников, на которые разбит четырёхуголь-ник (83). §4. Площади частей, на которые разбит четырёхугольник (83). §5. Разные задачи (84). §6. Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части (85). §7. Формулы для площади четырёхугольника (86). §8. Вспомогательная площадь (87). §9. Перегруппировка площадей (88). Задачи для самостоятельного решения (89). Решения.................................... 90
Глава 5. Треугольники 101
§1. Вписанная и описанная окружности (102). §2. Прямоугольные треугольники (103). §3. Правильный треугольник (104). §4. Треугольник с углом 60° или 120° (105). §5. Целочисленные треугольники (106). §6. Разные задачи (106). §7. Теорема Менелая (109). §8. Теорема Че-вы (111). §9. Прямая Симеона (113). §10. Подерный треугольник (115). §11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (116). §12. Точки Бро-кара (117). §13. Точка Лемуана (119). Задачи для самостоятельного решения (121).
Решения.................................... 121
Глава 6. Многоугольники 151
§1. Вписанные и описанные четырёхугольники (151). §2. Четырёхугольники (154). §3. Теорема Птолемея (155). §4. Пятиугольники (156). §5. Шестиугольники (157). §6. Правильные многоугольники (157). § 7. Вписанные и описанные многоугольники (160). § 8. Произвольные выпуклые многоугольники (161). §9. Теорема Паскаля (161). Задачи для самостоятельного решения (162).
Решения.................................... 163
Глава 7. Геометрические места точек 183
§1. ГМТ — прямая или отрезок (183). §2. ГМТ — окружность или дуга окружности (184). §3. Вписанный угол (185). §4. Вспомогательные равные или подобные треугольники (186). §5. Гомотетия (186). §6. Метод ГМТ (186). §7. ГМТ с ненулевой площадью (187). §8. Теорема Карно (187). §9. Окружность Ферма—Аполлония (188). Задачи для самостоятельного решения (188).
Решения.................................... 189
Глава 8. Построения 197
§1. Метод геометрических мест точек (197). §2. Вписанный угол (198). §3. Подобные треугольники и гомотетия (198). §4. Построение треугольников по различным элементам (198). § 5. Построение треугольников по различным точкам (199). §6. Треугольник (199). §7. Четырёхугольники (200). §8. Окружности (201). §9. Окружность Аполлония (201). §10. Разные задачи (202). §11. Необычные построения (202). §12. Построения одной линейкой (202). §13. Построения с помощью двусторонней линейки (203). § 14. Построения с помощью прямого угла (204). Задачи для самостоятельного решения (205).
Решения.................................... 205
Глава 9. Геометрические неравенства 221
§ 1. Медиана треугольника (222). § 2. Алгебраические задачи на неравенство треугольника (222). §3. Сумма длин диагоналей четырёхугольника (223). §4. Разные задачи на неравенство треугольника (223). §5. Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон (224). §6. Неравенства для площадей (224). §7. Площадь. Одна фигура лежит внутри другой (226). §8. Ломаные внутри квадрата (227). §9. Четырёхугольник (227). §10. Многоугольники (228). §11. Разные задачи (229). Задачи для самостоятельного решения (230).
Приложение. Некоторые неравенства................... 230
Решения.................................... 232
Глава 10. Неравенства для элементов треугольника 253
§1. Медианы (253). §2. Высоты (253). §3. Биссектрисы (254). §4. Длины сторон (254). §5. Радиусы описанной, вписанной и вневписанных окружностей (254). §6. Симметричные неравенства для углов треугольника (255). §7. Неравенства для углов треугольника (255). §8. Неравенства для площади треугольника (256). §9. Против большей стороны лежит больший угол (256). § 10. Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны (257). §11. Неравенства для прямоугольных треугольников (257). §12. Неравенства для остроугольных треугольников (258). §13. Неравенства в треугольниках (258). Задачи для самостоятельного решения (259).
Решения.................................... 260
Глава 11. Задачи на максимум и минимум 273
§1. Треугольник (273). §2. Экстремальные точки треугольника (274). §3. Угол (275). §4. Четырёхугольники (276). §5. Многоугольники (276). § 6. Разные задачи (277). § 7. Экстремальные свойства правильных многоугольников (277). Задачи для самостоятельного решения (278). Решения.................................... 278
Глава 12. Вычисления и метрические соотношения 289
§1. Теорема синусов (289). §2. Теорема косинусов (290). §3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы (291). §4. Длины сторон, высоты, биссектрисы (291). §5. Синусы и косинусы углов треугольника (292). §6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника (292). §7. Вычисление углов (293). §8. Окружности (294). §9. Разные задачи (295). § 10. Метод координат (295). Задачи для самостоятельного решения (296).
Решения.................................... 297
Глава 13. Векторы 308
§1. Векторы сторон многоугольников (309). §2. Скалярное произведение. Соотношения (310). §3. Неравенства (310). §4. Суммы векторов (311). §5. Вспомогательные проекции (312). §6. Метод усредне-
ния (312). §7. Псевдоскалярное произведение (313). Задачи для самостоятельного решения (314).
Решения.................................... 315
Глава 14. Центр масс 325
§1. Основные свойства центра масс (325). §2. Теорема о группировке масс (326). §3. Момент инерции (327). §4. Разные задачи (328). §5. Барицентрические координаты (328). §6. Трилинейные координаты (331). Решения.................................... 332
Глава 15. Параллельный перенос 345
§1. Перенос помогает решить задачу (345). §2. Построения и геометрические места точек (346). Задачи для самостоятельного решения (347). Решения.................................... 347

Глава 16. Центральная симметрия 353
§1. Симметрия помогает решить задачу (354). §2. Свойства симметрии (354). §3. Симметрия в задачах на построение (355). Задачи для самостоятельного решения (356).
Решения.................................... 356
Глава 17. Осевая симметрия 361
§1. Симметрия помогает решить задачу (361). §2. Построения (362). §3. Неравенства и экстремумы (363). §4. Композиции симметрий (363). §5. Свойства симметрий и осей симметрии (364). §6. Теорема Шаля (364). Задачи для самостоятельного решения (365).
Решения.................................... 365
Глава 18. Поворот 373
§1. Поворот на 90° (374). §2. Поворот на 60° (374). §3. Повороты на произвольные углы (376). §4. Композиции поворотов (377). Задачи для самостоятельного решения (378).
Решения.................................... 379
Глава 19. Гомотетия и поворотная гомотетия 388
§1. Гомотетичные многоугольники (389). §2. Гомотетичные окружности (389). § 3. Построения и геометрические места точек (390). §4. Композиции гомотетий (391). §5. Поворотная гомотетия (391). §6. Центр поворотной гомотетии (393). §7. Композиции поворотных гомотетий (394). §8. Окружность подобия трёх фигур (394). Задачи для самостоятельного решения (396).
Решения.................................... 396
Глава 20. Принцип крайнего 407
§1. Наименьший или наибольший угол (407). §2. Наименьшее или наибольшее расстояние (408). §3. Наименьшая или наибольшая площадь (408). §4. Наибольший треугольник (409). §5. Выпуклая оболочка и опорные прямые (409). §6. Разные задачи (410).
Решения.................................... 411
Глава 21. Принцип Дирихле 419
§1. Конечное число точек, прямых и т.д. (419). §2. Углы и длины (420). §3. Площадь (421).
Решения.................................... 422
Глава 22. Выпуклые и невыпуклые многоугольники 430
§1. Выпуклые многоугольники (430). §2. Изопериметрическое неравенство (431). §3. Симметризация по Штейнеру (432). §4. Сумма Минковского (433). §5. Теорема Хелли (433). §6. Невыпуклые многоугольники (434).
Решения.................................... 435
Глава 23. Делимость, инварианты, раскраски 453
§1. Чёт и нечёт (453). §2. Делимость (454). §3. Инварианты (454). §4. Вспомогательные раскраски в шахматном порядке (455). §5. Другие вспомогательные раскраски (456). §6. Задачи о раскрасках (457). Решения.................................... 458
Глава 24. Целочисленные решётки 469
§1. Многоугольники с вершинами в узлах решётки (469). §2. Формула Пика (469). §3. Разные задачи (470). §4. Вокруг теоремы Минковского (470).
Решения.................................... 471
Глава 25. Разрезания, разбиения, покрытия 479
§1. Равносоставленные фигуры (479). §2. Разрезания на части, обладающие специальными свойствами (480). §3. Свойства частей, полученных при разрезаниях (480). §4. Разрезания на параллелограммы (481). §5. Плоскость, разрезанная прямыми (481). §6. Разные задачи на разрезания (482). §7. Разбиение фигур на отрезки (483). §8. Покрытия (483). §9. Замощения костями домино и плитками (484). §10. Расположение фигур на плоскости (485).
Решения.................................... 485
Глава 26. Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры 506
§1. Системы точек (506). §2. Системы отрезков, прямых и окружностей (507). §3. Примеры и контрпримеры (507).
Решения.................................... 508
Глава 27. Индукция и комбинаторика 513
§1. Индукция (513). §2. Комбинаторика (514).
Решения.................................... 514
Глава 28. Инверсия 517
§1. Свойства инверсии (518). §2. Построение окружностей (518). §3. Построения одним циркулем (519). §4. Сделаем инверсию (520). §5. Точки, лежащие на одной окружности, и окружности, проходящие через одну точку (521). §6. Цепочки окружностей (523). Решения.................................... 524
Глава 29. Аффинные преобразования 535
§1. Аффинные преобразования (535). §2. Решение задач при помощи аффинных преобразований (537). §3. Комплексные числа (538). §4. Эллипсы Штейнера (542).
Решения.................................... 542
Глава 30. Проективные преобразования 559
§1. Проективные преобразования прямой (559). §2. Проективные преобразования плоскости (561). §3. Переведём данную прямую на бесконечность (564). §4. Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность (565). § 5. Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство (567). §6. Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение (567). § 7. Невозможность построений при помощи одной линейки (568). Решения.................................... 568
Глава 31. Эллипс, парабола, гипербола 583
§1. Классификация кривых второго порядка (583). §2. Эллипс (584). §3. Парабола (586). §4. Гипербола (587). §5. Пучки коник (589). §6. Коники как геометрические места точек (590). §7. Рациональная параметризация (591). §8. Коники, связанные с треугольником (591). Решения.................................... 593