Ван дер Варден Б. Л. Алгебра

Б. Л. ван дер Варден Алгебра. - М., Мир, 1975. - 649 с.
Современная алгебра, берущая свое начало в замечательных работах Гильберта конца прошлого века, сложилась в общих чертах в 20-е годы. Итогом этого периода становления явилось первое издание настоящей книги, вышедшее в 1931 году. Хотя с тех пор передний край алгебраических исследований продвинулся далеко, книга и сейчас выглядит свежо и современно, - правда, уже не как свод новейших результатов и понятий, а как отличный учебник основ алгебры.
В книге рассматриваются следующие темы: векторные и тензорные пространства, группы, теория Галуа, кольца, поля, алгебры, модули над кольцами, представления групп и алгебр, кольца многочленов, нормирования полей, упорядоченные множества, топологическая алгебра, алгебраические функции одной переменной. Для студентов-математиков, научных работников и всех серьезно интересующихся алгеброй.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора 9
Из предисловий автора 10
Схема зависимости глав 14
Введение 15
Глава первая ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА
§1. Множества 17
§ 2. Отображения. Мощности 19
§ 3. Натуральный ряд 20
§ 4. Конечные и счетные множества 24
§ 5. Разбиение на классы 26
Глава вторая ГРУППЫ
§ 6. Понятие группы 28
§ 7. Подгруппы 35
§ 8. Операции над комплексами. Смежные классы 39
§ 9. Изоморфизмы и автоморфизмы 42
§ 10. Гомоморфизмы, нормальные подгруппы и фактор-группы 45
Глава третья КОЛЬЦА, ТЕЛА И ПОЛЯ
§11. Кольца 49
§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы 56
§ 13. Построение частных 57
§ 14. Кольца многочленов 60
§ 15. Идеалы. Кольца классов вычетов 64
§ 16. Делимость. Простые идеалы 69
§ 17. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов 71
§ 18. Разложение на множители 75
Глава четвертая ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 19. Векторные пространства 80
§ 20. Инвариантность размерности 83
§ 21. Двойственное векторное пространство 86
§ 22. Линейные уравнения над телом 88
§ 23. Линейные преобразования 90
§ 24. Тензоры 95
§ 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители 97
§ 26. Тензорное произведение, свертка и след 102
Глава пятая ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 27. Дифференцирование 105
§ 28. Корни 106
§ 29. Интерполяционные формулы 108
§ 30. Разложение на множители 113
§31. Признаки неразложимости 117
§ 32. Разложение на множители в конечное число шагов 119
§ 33. Симметрические функции 121
§ 34. Результант двух многочленов 124
§ 35. Результант как симметрическая функция корней 128
§ 36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби 131
Глава шестая ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
§ 37. Подтело. Простое тело 134
§ 38. Присоединение 136
§39. Простые расширения 138
§ 40. Конечные расширения тел 143
§ 41. Алгебраические расширения 145
§ 42. Корни из единицы 150
§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела) 155
§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расшиирения 159
§ 45. Совершенные и несовершенные поля 164
§ 46. Простота алгебраических расширений. Теорема о примитивном 165 элементе
§ 47. Нормы и следы 167
Глава седьмая ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 48. Группы с операторами 171
§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы 173
§ 51. Нормальные и композиционные ряды 176
§ 52. Группы порядка р" 180
§53. Прямые произведения 181
§ 54. Групповые характеры 184
§ 55. Простота знакопеременной группы 189
§ 56. Транзитивность и примитивность 191
Глава восьмая ТЕОРИЯ ГАЛУА
§ 57. Группа Галуа 194
§ 58. Основная теорема теории Галуа 197
§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля 200§ 60. Поля деления круга 202
§ 61. Циклические поля и двучленные уравнения 209
§ 62. Решение уравнений в радикалах 211
§ 63. Общее уравнение п-й степени 215
§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней 218
§ 65. Построения с помощью циркуля и линейки 224
§ 66. Вычисление группы Галуа. Уравнения с симметрической группой 229
§ 67 Нормальные базисы 232
Глава девятая
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 68. Упорядоченные множества 237
§ 69. Аксиома выбора и лемма Цорна 238
§ 70. Теорема Цермело 241
§ 71. Трансфинитная индукция 242
Глава десятая БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
§ 72. Алгебраически замкнутые поля 244
§ 73. Простые трансцендентные расширения 250
§ 74. Алгебраическая зависимость и алгебраическая независимость 254
§ 75. Степень трансцендентности 257
§ 76. Дифференцирование алгебраических функций 259
Глава одиннадцатая ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
§ 77. Упорядоченные поля 266
§ 78. Определение вещественных чисел 269
§ 79. Корни вещественных функций 278
§ 80. Поле комплексных чисел 282
§ 81. Алгебраическая теория вещественных полей 285
§ 82. Теоремы существования для формально вещественных полей , 290
§ 83 Суммы квадратов 294
Глава двенадцатая ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 84. Модули над произвольным кольцом 297
§ 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители 299
§ 86. Основная теорема об абелевых группах 303
§ 87. Представления и модули представлений 307
§ 88. Нормальные формы матрицы над полем 311
§ 89. Элементарные делители и характеристическая функция 314
§ 90. Квадратичные и эрмитовы формы 317
§ 91. Антисимметрические билинейные формы 326
Глава тринадцатая АЛГЕБРЫ
§ 92. Прямые суммы и пересечения 331
§ 93. Примеры алгебр 334
§ 94. Произведения и скрещенные произведения 340
§ 95. Алгебры как группы с операторами. Модули и представления 347
§ 96. Малый и большой радикалы 351
§ 97. Звездное произведение 355
§ 98. Кольца с условием минимальности 357
§ 99. Двусторонние разложения и разложение центра 362
§ 100. Простые и примитивные кольца 365
§ 101. Кольцо эндоморфизмов прямой суммы 368
§ 102. Структурные теоремы о полупростых и простых кольцах 371
§ 103. Поведение алгебр при расширении основного поля 372
Глава четырнадцатая ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
§ 104. Постановка задачи 378
§ 105. Представления алгебр 379
§ 106. Представления центра 384
§ 107. Следы и характеры 386
§ 108. Представления конечных групп 388
§ 109. Групповые характеры 392
§ 110. Представления симметрических групп 398
§111. Полугруппы линейных преобразований 401
§ 112. Двойные модули и произведения алгебр 404
§113. Поля разложения простых алгебр 410
§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов 413
Глава пятнадцатая ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ КОММУТАТИВНЫХ КОЛЕЦ
§ 115. Пётеровы кольца 421
§ 116. Произведения и частные идеалов 425
§ 117. Простые идеалы и примарные идеалы 429
§ Пи. Общая теорема о разложении 434
§ 119. Теорема единственности 438
§ 120. Изолированные компоненты и символические степени 441
§ 121. Теория взаимно простых идеалов 444
§ 122. Однократные идеалы 447
§ 123. Кольца частных 450
§ 124. Пересечение всех степеней идеала 452
§ 125. Длина примарного идеала. Цепи примарных идеалов в нётеровых 455 кольцах
Глава шестнадцатая ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
§ 126. Алгебраические многообразия 459
§ 127. Универсальное поле 462
§ 128. Корни простого идеала 463
§ 129. Размерность 466
§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных 468 уравнений
§ 131. Примарные идеалы 471
§ 132. Основная теорема Пётера 474
§ 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным 478
Глава семнадцатая ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕПТЫ
§ 134. Конечные Я-модули 482
§ 135. Элементы, целые над кольцом 484
§ 136. Целые элементы в поле 487
§ 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов 493
§ 138. Обращение и дополнение полученных результатов 496
§ 139. Дробные идеалы 499
§ 140. Теория идеалов в произвольных целозамкнутых целостных кольцах 501
Глава восемнадцатая ФОРМИРОНИЕ ПОЛЯ
§ 141. Формирование 509
§ 142. Пополнения 515
§ 143. Формирование поля рациональных чисел 521
§ 144. Формирование алгебраических расширений: случай полного поля 524
§ 145. Формирование алгебраических расширений: общий случай 531
§ 146. Формирование полей алгебраических чисел 633
§ 147. Формирование поля рациональных функций А(х) 539
§ 148. Аппроксимационная теорема 542
Глава девятнадцатая АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 149. Разложения в ряды по степеням униформизирующих 545
§ 150. Дивизоры и их кратные 550
§151. Роде 554
§ 152. Векторы и ковекторы 557
§ 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности 560
§ 154. Теорема Римана—Роха 564
§ 155. Сепарабельная порождаемость функциональных полей 568
§ 156. Дифференциалы и интегралы в классическом случае 569
§ 157. Доказательство теоремы о вычетах 574
Глава двадцатая ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА
§ 158. Понятие топологического пространства 580
§ 159. Базисы окрестностей 581
§ 160. Непрерывность, пределы 583
§ 161. Аксиомы отделимости и счетности 584
§ 162. Топологические группы 585
§ 163. Окрестности единицы 586
§ 164. Подгруппы и факторгруппы 588
§ 165. Т-кольца и Т-тела 589
§ 166. Пополнение групп с помощью фундаментальных 591
последовательностей
§ 167. Фильтры 595
§ 168. Пополнение группы с помощью фильтров 598
§ 169. Топологические векторные пространства 602
§ 170. Пополнение колец 604
§171. Пополнение тел 606
Предметный указатель 608
Часть 1

Часть 2