Винберг Э.Б. Курс алгебры. 2-е издание, испр. и допол. - М., 2001. -544 с.
Книга представляет собой расширенный вариант курса алгебры, читаемого в течение трех семестров на математических факультетах университетов. В нее включены такие дополнительные разделы, как элементы коммутативной алгебры (в связи с аффинной алгебраической геометрией), теории Галуа, теории конечномерных ассоциативных алгебр, и теории групп Ли. Это позволяет использовать книгу не только как учебник, но и как пособие для тех, кто желает углубить свои познания в алгебре. Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Предисловие ко второму изданию 6
Глава 1. Алгебраические структуры 7
§ 1. Введение 7
§ 2. Абелевы группы 10
§ 3. Кольца и поля 14
§ 4. Подгруппы, подкольца и подполя 17
§ 5. Поле комплексных чисел 19
§ 6. Кольца вычетов 25
§ 7. Векторные пространства 31
§ 8. Алгебры 35
§ 9. Алгебра матриц 38
Глава 2. Начала линейной алгебры 43
§ 1. Системы линейных уравнений 43
§ 2. Базис и размерность векторного пространства 52
§ 3. Линейные отображения 62
§ 4. Определители 73
§ 5. Некоторые приложения определителей 86
Глава 3. Начала алгебры многочленов 90
§ 1. Построение и основные свойства алгебры многочленов 90
§ 2. Общие свойства корней многочленов 96
§ 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел 103
§ 4. Корни многочленов с вещественными коэффициентами 107
§ 5. Теория делимости в евклидовых кольцах 113
§ 6. Многочлены с рациональными коэффициентами 119
§ 7. Многочлены от нескольких переменных 122
§ 8. Симметрические многочлены 127
§ 9. Кубические уравнения 136
§ 10. Поле рациональных дробей 141
Глава 4. Начала теории групп 147
§ 1. Определение и примеры 147
§ 2. Группы в геометрии и физике 154
§ 3. Циклические группы 159
§ 4. Системы порождающих 164
§ 5. Разбиение на смежные классы 167
§ 6. Гомоморфизмы 175
Глава 5. Векторные пространства 183
§ 1. Взаимное расположение подпространств 183
§ 2. Линейные функции 187
§ 3. Билинейные и квадратичные функции 191
§ 4. Евклидовы пространства 202
§ 5. Эрмитовы пространства 210
Глава 6. Линейные операторы 214
§ 1. Матрица линейного оператора 214
§ 2. Собственные векторы 220
§ 3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом
пространстве 226
§ 4. Жорданова форма 237
§ 5. Функции от линейного оператора 244
Глава 7. Аффинные и проективные пространства 254
§ 1. Аффинные пространства 254
§ 2. Выпуклые множества 263
§ 3. Аффинные преобразования и движения 273
§ 4. Квадрики 283
§ 5. Проективные пространства 297
Глава 8. Тензорная алгебра 311
§ 1. Тензорное произведение векторных пространств 311
§ 2. Тензорная алгебра векторного пространства 319
§ 3. Симметрическая алгебра 326
§ 4. Алгебра Грассмана 332
Глава 9. Коммутативные кольца 342
§ 1. Абелевы группы 342
§ 2. Идеалы и факторкольца 355
§ 3. Модули над кольцами главных идеалов 364
§ 2. Нётеровы кольца 370
§ 3. Алгебраические расширения 375
§ 4. Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические
многообразия 388
§ 5. Разложение на простые множители 400
Глава 10. Группы 409
§ 1. Прямые и полупрямые произведения 409
§ 2. Коммутант 416
§ 3. Действия 419
§ 4. Теоремы Силова 426
§ 5. Простые группы 428
§ 6. Расширения Галуа 433
§ 7. Основная теорема теории Галуа 438
Глава 11. Линейные представления и ассоциативные алгебры 445
§ 1. Инвариантные подпространства 445
§ 2. Полная приводимость линейных представлений 458
§ 3. Конечномерные ассоциативные алгебры 462
§ 4. Линейные представления конечных групп 470
§ 5. Инварианты 482
§ 6. Алгебры с делением 488
Глава 12. Группы Ли 501
§ 1 . Определение и простейшие свойства групп Ли 502
§ 2. Экспоненциальное отображение 508
§ 3. Касательная алгебра Ли и присоединенное представление 512
§ 4. Линейные представления групп Ли 618
Ответы к задачам 525
Словарь сокращений 529
Список литературы 530
Указатель обозначений 531
Предметный указатель 534
Часть 1
Часть 2
