Блашке В. Введение в дифференциальную геометрию. - 2-е изд., исправл. - Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2000. - 212 с.
В книге излагаются в элементарной форме основы теории кривых и поверхностей с помощью метода внешних форм Картана. Идеи этого метода изложены в объеме, достаточном для понимания основного материала. В конце каждой главы приведены задачи и вопросы. В комментариях В. Л. Александрова отражено современное состояние обсуждаемых вопросов.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов, специализирующихся в области математики.
Содержание
Предисловие редактора ............................................6
Предисловие ..........................................................7
I. Векторы, определители, матрицы............................8
§ 11. Сумма векторов................................................8
§ 12. Скалярное произведение......................................12
§ 13. Полярные произведения; определители......................13
§ 14. Векторное произведение......................................17
§ 15. Матрицы........................................................19
II. Полосы и линии..................................................23
§ 21. Сопровождающий триэдр......................................23
§ 22. Интегральные инварианты полосы..........................26
§ 23. Вращение полосы вокруг ее линии..........................29
§ 24. Теорема о четырех вершинах................................30
§ 25. Соприкасающаяся окружность, соприкасающаяся сфера . 32
§ 26. Деформация полосы............................................36
§ 27. Задачи, теоремы................................................40
§ 28. Линии откоса на квадриках вращения......................45
§ 29. Основное изопериметрическое свойство круга ............51
III. Формы Пфаффа..................................................57
§31. Альтернированное произведение ............................57
§32. Внешний дифференциал ......................................59
§ 33. Производные, отвечающие паре форм Пфаффа............61
§ 34. Альтернированные дифференциальные формы............62
IV. Внутренняя геометрия поверхностей......................64
§ 40. Исторические сведения........................................64
§41. Основные уравнения ..........................................67
§42. Площадь поверхности и интегральная кривизна..........69
§ 43. Инвариантность меры кривизны при изгибании..........72
§44. Интегральная формула Гаусса-Бонне......................74
§ 45. Параллельное перенесение на поверхности..................76
§ 46. Распространение формулы Гаусса-Бонне на многоугольные области ....................................................79
§47. Формула Гаусса-Бонне для замкнутых поверхностей . . 81
§ 48. Косоугольные сети линий ....................................85
§ 49. Задачи, теоремы................................................89
V. Геодезические линии............................................92
§51. Геодезические как кратчайшие..............................92
§ 52. Поверхности постоянной меры кривизны..................96
§ 53. Полуплоскость Пуанкаре и гиперболическая геометрия . 98
§ 54. Параллельные линии на поверхности............101
§ 55. Формулы Грина........................104
§ 56. Сети Лиувилля.........................108
§ 57. Поведение геодезических на поверхности постоянной отрицательной кривизны....................112
§ 58. Конформное отображение ..................120
§ 59. Задачи, теоремы........................122
VI. Внешняя геометрия поверхностей.............128
§61. Главные кривизны.......................128
§ 62. Кривизна линий на поверхности...............135
§63. Теорема Дюпена об ортогональных системах поверхностей 140
§ 64. Конформные отображения пространства..........145
§ 65. Асимптотические линии...................147
§ 66. Асимптотические линии на линейчатых поверхностях . . 151
§ 67. Жесткость овальных поверхностей.............153
§ 68. Деформации поверхности...................157
§ 69. Задачи, теоремы........................162
VII. Минимальные поверхности ................174
§ 71. Минимальные поверхности как поверхности переноса . . 174
§ 72. Определение асимптотических линий и линий кривизны 180
§ 73. Присоединенные минимальные поверхности........184
§ 74. Изгибание минимальных поверхностей ..........187
§ 75. Формулы Римана и Вейерштрасса..............189
§ 76. Минимальные поверхности Шерка.............196
§ 77. Минимальные поверхности Эннепера............199
§ 78. Взгляд на задачу Плато....................203
§ 79. Задачи, теоремы........................206
Комментарии.............................209
Литература..............................222
Алфавитный указатель ......................225
