Босс В. Лекции по математике. Т. 13: Топология

Босс В. Лекции по математике. Т. 13: Топология: Учебное пособие. — М., 2009. — 216 с.
Рассматриваются непрерывные преобразования геометрических фигур с прицелом на изучение инвариантных свойств. Особое внимание уделяется задачам о неподвижных точках, иначе говоря, о разрешимости систем уравнений. Рассматриваются также основные направления алгебраической топологии в расчете на новичков.
Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников.
Оглавление
Предисловие к «Лекциям»............................................................7
Предисловие к тринадцатому тому..............................................9
Глава 1. Приготовления и авансы в наглядной редакции..........10
1.1. Предмет топологии....................................................10
1.2. Деформационная техника..........................................12
1.3. Сферы с ручками........................................................15
1.4. Рогатая сфера Александера........................................18
1.5. Лист Мёбиуса..............................................................20
1.6. Проективная плоскость..............................................25
1.7. Ориентация ................................................................28
1.8. Бутылка Клейна..........................................................30
1.9. Узлы ............................................................................31
1.10. Многообразия..............................................................35
1.11. Антуановское множество............................................37
1.12. Замкнутые поверхности..............................................38
1.13. Метод инвариантов....................................................39
1.14. Графовая структура поверхности................................43
Глава 2. Неподвижные точки....................................................46
2.1. Предварительные соображения..................................46
2.2. Гомотопические переходы..........................................48
2.3. Вращение векторного поля........................................49
2.4. Гомотопные векторные поля......................................52
2.5. Скелет теории..............................................................55
2.6. Разрешимость уравнений ..........................................57
2.7. Еще раз об ориентации..............................................59
2.8. Индексы и алгебраическое число нулей....................60
2.9. Вращение линейного поля ........................................62
2.10. Нечетные поля............................................................63
2.11. Собственные векторы................................................64
2.12. Векторные поля на плоскости ................. 66
Глава 3. Дополнения и приложения ..........................................71
3.1. Теорема Брауэра и ее обобщения..............................71
3.2. Глобальная обратимость..............................................74
3.3. Технические уловки и фурнитура..............................76
3.4. Строгие определения вращения................................79
3.5. Зачем нужна общность..............................................80
Глава 4. Многозначные отображения........................................83
4.1. Общие сведения..........................................................83
4.2. О редукции задач........................................................85
4.3. Отображения с выпуклыми образами........................87
4.4. Теоремы о неподвижных точках................................88
4.5. Теорема о селекторе....................................................91
4.6. Отображения с невыпуклыми образами....................92
Глава 5. Алгебраизация топологии ...................... 94
5.1. Результаты и рецепты ........................ 94
5.2. Абстрактная схема........................... 95
5.3. Фундаментальная группа...................... 98
5.4. Вычисление фундаментальной группы...........101
5.5. Высшие гомотопические фуппы...............103
5.6. Гомотопическая эквивалентность...............105
5.7. Проблема Пуанкаре..........................107
5.8. Контрпримеры Пуанкаре и Уайтхеда............109
Глава 6. Симплициальные гомологии....................112
6.1. В чем состоит идея ..........................112
6.2. Симплициальные комплексы..................114
6.3. Ориентируемые псевдомногообразия............121
6.4. Симплициальные отображения.................123
6.5. Индуцируемые гомоморфизмы.................124
6.6. Проблемы вычисления .......................126
Глава 7. Теория гомологий ............................128
7.1. Общая схема................................128
7.2. CW-комплексы и клеточные гомологии..........131
7.3. Сингулярные гомологии......................133
7.4. Степень отображения ........................134
7.5. Числа Бетти и группа кручения................137
7.6. Эйлерова характеристика .....................139
7.7. Число Лефшеца.............................139
7.8. Градиентные потоки и теория Морса............142
7.9. Относительные гомологии.....................144
7.10. Точные последовательности ...................145
7.11. Когомологии ...............................147
7.12. Взаимосвязь гомологий и гомотопий............149
Глава 8. Расслоения.................................150
8.1. Суть идеи..................................150
8.2. Формальные определения.....................153
8.3. Расслоения Хопфа...........................155
8.4. Поднятие гомотопии.........................157
8.5. Накрытия..................................159
Глава 9. Аппаратные формальности.....................160
9.1. Истоки непрерывности.........................160
9.2. Топологический подход.......................162
9.3. Фактортопология............................164
9.4. Непрерывные отображения....................165
9.5. Карты и атласы .............................167
9.6. Гомотопия векторных полей...................168
9.7. Гомеоморфизмы.............................169
9.8. Дифференцируемость........................171
9.9. Гладкие многообразия........................173
9.10. Теорема Сарда ..............................174
9.11. Обратные и неявные функции.................175
Глава 10. Элементы теории групп........................178
10.1. Определения и примеры......................178
10.2. Смежные классы............................182
10.3. Нормальные делители и фактор-группы.........183
10.4. Автоморфизмы и гомоморфизмы...............185
10.5. Порождающие множества.....................188
10.6. Свободные группы...........................188
10.7. Тождества в группах..........................189
10.8. Абелевы группы.............................191
10.9. Конечнопорожденные группы .................192
10.10. Прямое произведение и прямая сумма...........193
10.11. Циклическая природа абелевых групп...........195
Глава 11. Избранные фрагменты.........................197
Сокращения и обозначения.............................203
Литература .........................................205
Предметный указатель................................207

Created using FlowPaper Flipbook Maker ↗