Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т. 3: Теория гомологий. - М., 2001. — 288 с.
Книга содержит доступное изложение методов теории гомологии, освобожденное от утомительного языка абстрактной гомологической алгебры. Более сложная часть книги содержит введение в современные методы вычисления гомотопических групп и классификации многообразий.
Для научных работников различных специальностей: математиков, механиков, физиков-теоретиков.
Оглавление
Предисловие к первому изданию................................. 5
Глава 1. Гомологии и когомологии. Рецепты их вычисления .............. 7
§ 1. Группы когомологий как классы замкнутых дифференциальных
форм. Их гомотопическая инвариантность................... 7
§2. Гомологии алгебраических комплексов...................... 18
§ 3. Симплициальные комплексы. Их гомологии и когомологии.
Классификация двумерных замкнутых поверхностей............ 23
§ 4. Операция приклейки клетки к топологическому пространству. Клеточные пространства. Теоремы о приведении клеточных пространств. Гомологии и фундаментальная фуппа поверхностей
и некоторых других многообразий......................... 36
§ 5. Сингулярные гомологии и когомологии. Их гомотопическая инвариантность. Точная последовательность пары.
Относительные гомологии.............................. 47
§ 6. Сингулярные гомологии клеточных комплексов. Их совпадение с клеточными гомологиями. Двойственность Пуанкаре
для симплициальных гомологий.......................... 57
§ 7. Гомологии прямого произведения. Умножение в когомологиях. Когомологии Я-пространств и фупп Ли.
Когомологии унитарной группы.......................... 64
§ 8. Гомологии косых произведений (расслоенных пространств) ....... 73
§ 9. Задача о продолжении отображений, гомотопий и сечений.
Препятствующий класс когомологий....................... 83
§ 10. Гомологии и методы вычисления гомотопических фупп. Теорема Картана—Серра. Когомологические операции.
Векторные расслоения................................. 88
§11. Гомологии и фундаментальная фуппа......................ПО
§ 12. Когомологии гиперэллиптических римановых поверхностей. Торы Якоби. Геодезические на многоосных эллипсоидах.
Связь с конечнозонными потенциалами.....................116
§ 13. Простейшие свойства кэлеровых многообразий. Абелевы торы.....127
§ 14. Гомологии с коэффициентами в пучках.....................131
Глава 2. Критические точки гладких функций п гомологии................136
§ 15. Функции Морса и клеточные комплексы....................136
§ 16. Неравенства Морса...................................141
§ 17. Правильная функция Морса—Смейла. Ручки. Поверхности.......146
§ 18. Двойственность Пуанкаре..............................155
§ 19. Критические точки гладких функций и категория
Люстерника—Шнирельмана.............................159
§ 20. Критические многообразия и неравенства Морса.
Функции с симметрией................................170
§ 21. Критические точки функционалов и топология пространства
путей........................................176
§22. Применения теоремы об индексе.......................
§ 23. Периодическая задача вариационного исчисления..............191
§24. Функции Морса на трехмерных многообразиях и диафаммы Хегора . 198
§ 25. Унитарная периодичность Ботта и многомерные
вариационные задачи .................................202
§ 26. Теория Морса и некоторые движения в плоской задаче п тел......219
Глава 3. Кобордизмы и гладкие структуры..........................230
§ 27. Характеристические числа. Кобордизмы. Циклы и подмногообразия.
Сигнатура многообразий...............................230
§ 28. Гладкие структуры на семимерной сфере. Проблема классификации гладких многообразий (нормальные инварианты). Кручение Райдемайстера и основная гипотеза комбинаторной топологии.....249
Литература...............................................259
Приложение 1. Аналог теории Морса для многозначных функций.
Некоторые свойства скобок Пуассона. С. П. Новиков............262
Приложение 2. Задача Плато, бордизмы и глобально минимальные
поверхности в римановых многообразиях. Л. Т. Фоменко..........273
Предметный указатель........................................285
