Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевников Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. (В 2-х частях)- М., 1986. Часть 2. - 416с.
Содержание II части охватывает следующие разделы программы: кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей, теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, основы вариационного исчисления.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для самостоятельной работы.
Оглавление
Глава 1. Двойные и тройные интегралы
§ 1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах.......б
§ 2. Замена переменных в двойном интеграле....................10
§ 3. Вычисление площади плоской фигуры......................14
§ 4. Вычисление объема тела....................................16
§ 5. Вычисление площади поверхности..........................17
§ 6. Физические приложения двойного интеграла...........20
§ 7. Тройной интеграл..........................................23
§ 8. Приложения тройного интеграла............................28
§ 9. Интегралы, зависящие от параметра. Дифференцирование
и интегрирование под знаком интеграла . .................30
§ 10. Гамма-функция. Бета-функция......................35
Глава II. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
§ 1. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам . . 42
§ 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура интегрирования. Нахождение функции по ее полному дифференциалу ................................................47
§ 3. Формула Грина............................................50
§ 4. Вычисление площади........................................51
§ 5. Поверхностные интегралы....................................52
§ 6. Формулы Стокса и Остроградского — Гаусса. Элементы теории поля .............56
Глава III. Ряды
§ 1. Числовые ряды..............................................66
§ 2. Функциональные ряды......................................77
§ 3. Степенные ряды............................................81
§ 4. Разложение функций в степенные ряды......................86
§ 5. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов...........91
§ 6. Применение степенных рядов к вычислению пределов и определенных интегралов........................................95
§ 7. Комплексные числа и ряды с комплексными числами..........97
§ 8. Ряд Фурье..................................................106
§ 9. Интеграл Фурье.............................113
Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ..............117
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков..............139
§ 3. Линейные уравнения высших порядков......................145
§ 4. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядэв 161
§ 5. Системы дифференциальных уравнений......................166
Глава V. Элементы теории вероятностей
§ 1. Случайное событие, его частота и вероятность. Геометрическая вероятность.............176
§ 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность...............179
§ 3. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события ........183
§ 4. Формула полной вероятности. Формула Бейеса..............186
§ 5. Случайная величина и закон ее распределения..............188
§ 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины......192
§ 7. Мода и медиана ......................195
§ 8. Равномерное распределение.............196
§ 9. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона .... 197
§ 10. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функция надежности.......200
§ 11. Нормальный закон распределения. Функция Лапласа .... 202
§ 12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины .... 206
§ 13. Закон больших чисел......................................210
§ 14. Теорема Муавра—Лапласа..................................213
§ 15. Системы случайных величин................................214
§ 16. Линии регрессии. Корреляция..............................223
§ 17. Определение характеристик случайных величин на основе опытных данных..........228
§ 18. Нахождение законов распределения случайных величин на основе опытных данных.........240
Глава VI. Понятие об уравнениях в частных производных
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных ........260
§ 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому виду.....262
§ 3. Уравнение колебания струны................................265
§ 4. Уравнение теплопроводности................................272
§ 5. Задача Дирихле для круга..................................278
Глава VII. Элементы теории функций комплексного переменного
§ 1. Функции комплексного переменного............ .282
§ 2. Производная функции комплексного переменного............285
§ 3. Понятие о конформном отображении........................287
§ 4. Интеграл от функции комплексного переменного..............291
§ 5. Ряды Тейлора и Лорана....................................295
§ 6. Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычислению интегралов........300
Глава VIII. Элементы операционного исчисления
§ 1. Нахождение изображений функций..........................305
§ 2. Отыскание оригинала по изображению......................307
§ 3. Свертка функций. Изображение производных и интеграла от оригинала.........310
§ 4. Применение операционного исчисления к решению некоторых дифференциальных и интегральных уравнений......312
§ 5. Общая формула обращения..................................315
§ 6. Применение операционного исчисления к решению некоторых уравнений математической физики ......316
Г лава IX. Методы вычислений
§ 1. Приближенное решение уравнений....................321
§ 2. Интерполирование..........................................330
§ 3. Приближенное вычисление определенных интегралов..........334
§ 4. Приближенное вычисление кратных интегралов ..........338
§ 5. Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных и кратных интегралов...........350
§ 6. Численное интегрирование дифференциальных уравнений ........362
§ 7. Метод Пикара последовательных приближений.............368
§ 8. Простейшие способы обработки опытных данных..........370
Глава X. Основы вариационного исчисления
§ 1. Понятие о функционале......................................385
§ 2. Понятие о вариации функционала............................386
§ 3. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегрируемости уравнения Эйлера........387
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков.....393
§ 5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой переменной ...........394
§ 6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых переменных ........395
§ 7. Параметрическая форма вариационных задач..............396
§ 8. Понятие о достаточных условиях экстремума функционала ........397
Ответы....................398
Приложение................409
