Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Том I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. - Издание четвертое, исправленное и дополненное. — М.: Эдиториал УРСС, 1998, — 336 с.
Книга включает геометрию пространства Евклида и Минковского, их группы преобразований, классическую геометрию кривых и поверхностей, тензорный анализ и риманову геометрию, вариационное исчисление и теорию поля, основы теории относительности.
Книга рассчитана на студентов — математиков, механиков, физиков- теоретиков, начиная со 2-го курса университета, и обеспечивает курсы геометрии, читаемые на 2—3 годах обучения. Более сложные разделы книги будут полезны также студентам старших курсов, аспирантам и научным работникам.
Оглавление
Предисловие к первому изданию....................... 7
Предисловие ко второму изданию....................... 10
Глава 1. Геометрия в области пространства. Основные понятия .......... 11
§ 1. Системы координат.............................. 11
1. Декартовы координаты в пространстве (11). 2. Замена координат (12).
§ 2. Евклидово пространство ........................... 16
1. Кривая в евклидовом пространстве (16). 2. Квадратичные формы и векторы (21).
§ 3. Римановы и псевдоримановы пространства ................ 23
I. Риманова метрика (23). 2. Метрика Минковского (26).
§ 4. Простейшие группы преобразований.................... 28
I. Группы преобразований области (28). 2. Преобразование плоскости (29). 3. Движения трехмерного евклидова пространства (34). 4. Другие примеры групп преобразований (37).
§ 5. Формулы Френе................................ 39
1. Кривизна плоских кривых (39). 2. Пространственные кривые. Кривизна и кручение (43). 3. Ортогональные преобразования, зависящие от параметра (46).
§ 6. Псевдоевклидовы пространства ....................... 48
1. Простейшие понятия специальной теории относительности (48).
2. Преобразования Лоренца (50).
Глава 2. Теория поверхностей.............................. 56
§ 7. Геометрия на поверхности в пространстве................. 56
1. Координаты на поверхности (56). 2. Касательная плоскость (58).
3. Метрика на поверхности (60). 4. Площадь поверхности (62).
§ 8. Вторая квадратичная форма ......................... 66
1. Кривизна кривых на поверхности в евклидовом пространстве (66).
2. Инварианты пары квадратичных форм (68). 3. Свойства второй квадратичной формы (69).
§ 9. Метрика сферы................................. 74
§ 10. Пространственноподобные поверхности .................. 76
I. Псевдосфера (76). 2. Кривизна пространственноподобных поверхностей в R (78).
§ 11. Комплексный язык в геометрии....................... 79
I. Комплексные и вещественные координаты (79). 2. Эрмитово скалярное произведение (80). 3. Примеры групп комплексных преобразований (82).
§ 12. Аналитические функции ........................... 83
1. Комплексная запись элемента длины и дифференциала функции (83)
2. Комплексные замены координат (85). 3. Поверхности в комплексном пространстве (87).
§ 13. Конформный вид метрик поверхностей................... 89
1. Изотермические координаты. Гауссова кривизна в конформных координатах (89). 2. Метрики сферы и плоскости Лобачевского в конформном виде (93). 3. Поверхности постоянной кривизны (95).
§ 14. Группы преобразований как поверхности в N-мерном пространстве . . 96 1. Координаты в окрестности единицы (96). 2. Экспонента от матрицы (101). 3. Кватернионы (103).
§ 15. Конформные преобразования ........................ 107
Глава 3. Тензоры. Алгебраическая теория....................... 113
§ 16. Примеры тензоров............................... из
§ 17. Общее определение тензора ......................... 118
1. Закон преобразования компонент тензоров произвольного ранга (118). 2. Алгебраические операции над тензорами (123).
§ 18. Тензоры типа (О, fc) .............................. 125
1. Дифференциальная форма записи тензоров с нижними индексами (125). 2. Кососимметрические тензоры типа (О, к) (127). 3. Внешнее произведение дифференциальных форм. Внешняя алгебра (129). 4. Кососимметрические тензоры типа (fc,0) (поливекторы). Интеграл от антикоммутирующих переменных (130).
§ 19. Тензоры в римановом и псевдоримановом пространстве......... 132
1. Поднятие и опускание индексов (132). 2. Собственные значения квадратичной формы (134). 3. Оператор * (135). 4. Тензоры в евклидовом пространстве (135).
§ 20. Кристаллографические группы........................ 136
§ 21. Тензоры ранга 2 в псевдоевклидовом пространстве............ 151
1. Кососимметрические тензоры. Инварианты электромагнитного по-ля (151). 2. Симметрические тензоры и собственные значения. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля (155).
§ 22. Поведение тензоров при отображениях................... 157
1. Общая операция ограничения тензоров с нижними индексами (157).
2. Отображение касательных пространств (158).
§ 23. Векторные поля ................................ 158
1. Однопараметрические группы диффеоморфизмов (158). 2. Экспонента от векторного поля (160). 3. Производная Ли. Примеры (161).
§ 24. Алгебры Ли.................................. 164
1. Алгебры Ли и векторные поля (164). 2. Основные матричные алгебры Ли (165). 3. Линейные векторные поля (170). 4. Левоинвариантные поля на группах преобразований 071)- 5. Метрика Киллинга (173). 6. Классификация трехмерных алгебр Ли (174). 7. Алгебра Ли конформной фуппы (175).
Глава 4. Дифференциальное исчисление тензоров................... 179
§ 25. Дифференциальное исчисление кососимметрических тензоров..... 179
1. Градиент кососимметрического тензора (179). 2. Внешний дифференциал формы (181).
§ 26. Кососимметрические тензоры и теория интегрирования......... 186
I. Интегрирование дифференциальных форм (186). 2. Примеры дифференциальных форм (190). 3. Общая формула Стокса. Примеры (194). 4. Доказательство общей формулы Стокса для куба (200).
§ 27. Дифференциальные формы в комплексных пространствах........ 202
1. Операторы rf'и d" (202). 2. Кэлерова метрика. Форма кривизны (204).
§ 28. Ковариантное дифференцирование..................... 206
1. Евклидова связность (206). 2. Ковариантное дифференцирование тензоров произвольного ранга (213).
§19. Ковариантное дифференцирование и метрика............... 216
1. Параллельный перенос векторных полей (216). 2. Геодезические (218).
3. Связности, согласованные с метрикой (218). 4. Связности, согласованные с комплексной структурой (221).
§ 30. Тензор кривизны................................ 224
1. Общий teH3op кривизны (224). 2. Симметрии тензора кривизны. Тензор кривизны, порожденный метрикой (227). 3. Примеры: тензор кривизны двух- и трехмерных пространств, метрики Киллинга (228).
4. Уравнения Петерсона—Кодацци. Поверхности постоянной отрицательной кривизны и уравнение «sin-gordon» (232).
Глава 5. Элементы вариационного исчисления..................... 236
§ 31. Одномерные вариационные задачи ..................... 236
1. Уравнения Эйлера—Лагранжа (236). 2. Основные примеры функционалов (239).
§ 32. Законы сохранения .............................. 242
1. Группы преобразований, сохраняющих вариационную задачу (242).
2. Некоторые примеры. Применение законов сохранения (243).
§ 33. Гамильтонов формализм ........................... 250
1. Преобразование Лежандра (250). 2. Движущиеся системы координат (252). 3. Принципы Мопертюи и Ферма. Приложения (255).
§ 34. Геометрическая теория фазового пространства .............. 256
1. Градиентные системы (256). 2. Скобка Пуассона (258). 3. Канонические преобразования (262).
§ 35.Лагранжевы поверхности........................... 265
1. Пучки траекторий и уравнение Гамильтона—Якоби (265). 2. Случай гамильтонианов, являющихся однородными функциями первого порядка от импульсов (268).
§ 36. Вторая вариация для уравнения геодезических............... 271
1. Формула второй вариации (271). 2. Сопряженные точки и условие минимальности (273).
Глава б. Многомерные вариационные задачи. Поля и их геометрические
инварианты................................... 275
§ 37. Простейшие многомерные вариационные задачи............. 275
1. Уравнения Эйлера—Лагранжа (275). 2. Тензор энергии-импульса (277). 3. Уравнения электромагнитного поля (281). 4. Уравнения гравитационного поля (285). 5. Мыльные пленки (290). 6. Уравнение равновесия тонкой пластинки (294).
§ 38. Примеры лагранжианов............................ 298
§ 39. Простейшие понятия общей теории относительности .......... 300
§ 40. Спинорное представление групп SO(2) и 0(3,1)............. 310
I. Автоморфизмы алгебры матриц (310). 2. Спинорное представление группы 50(3) (312). 3. Спинорное представление группы Лоренца (313). 4. Уравнение Дирака (316). 5. Уравнение Дирака в электромагнитном поле. Оператор зарядового сопряжения (317).
§ 41. Ковариантное дифференцирование полей................. 317
1. Калибровочные преобразования. Калибровочно инвариантные лагранжианы (317). 2. Форма кривизны (320). 3. Основные примеры (321). § 42. Калибровочно инвариантные функционалы................ 324
Список литературы............................... 329
Предметный указатель............................. 331
