Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М., 2004. - 584 с.
Перед вами прекрасная книга, в которой с редкой ясностью и яркостью излагаются основы геометрии — евклидовой и неевклидовой, проективной геометрии, геометрии постоянной кривизны. Эта книга — классический учебник, выдержавший семь изданий, отличается методически продуманным и умело распределенным материалом и остается современной и своевременной.
Для студентов и аспирантов всех математических специальностей, физиков и информатиков, лекторов геометрических курсов, математиков-исследователей.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ..........................................................6
I ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 9
I. КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ..........................9
§ 1. Аксиомы Евклида....................................................9
§ 2. Пятый постулат......................................................14
§ 3. Н. И. Лобачевский и его геометрия................................30
§ 4. Формирование понятия геометрического пространства .... 33
II. АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ................39
§ 1. Геометрические элементы ..........................................39
§ 2. Группа I. Аксиомы связи............................................39
§ 3. Группа II. Аксиомы порядка........................................42
§ 4. Следствия из аксиом связи и порядка............................43
§ 5. Группа III. Аксиомы конгруэнтности..............................51
§ 6. Следствия из аксиом I—III..........................................55
§ 7. Группа IV. Аксиомы непрерывности..............................68
§ 8. Группа V. Аксиома параллельности. Абсолютная геометрия . 81
III. НЕЕВКЛИДОВА ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ..............85
§ 1. Определение параллельных по Лобачевскому....................85
§ 2. Особенности расположения параллельных и расходящихся
прямых................................................................96
§ 3. Функция Лобачевского П(ж)....................101
§ 4. Прямые и плоскости в пространстве Лобачевского.......105
§ 5. Эквидистанта и орицикл......................112
§ 6. Эквидистантная поверхность и орисфера............122
§ 7. Элементарная геометрия на поверхностях пространства Лобачевского ..............................127
§ 8. Площадь треугольника.......................138
§ 9. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского ..............................149
§ 10. Основные метрические соотношения в геометрии Лобачевского ..................................169
§ 11. Краткие сведения о геометрии Римана..............183
IV. ИССЛЕДОВАНИЕ АКСИОМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 192
§ 1. Три основные задачи аксиоматики................192
§ 2. Непротиворечивость аксиом евклидовой геометрии......196
§ 3. Доказательство независимости некоторых аксиом евклидовой
геометрии...............................211
§ 4. Аксиома полноты..........................222
§ 5. Полнота системы аксиом евклидовой геометрии........227
§ 6. Аксиоматический метод в математике..............230
II ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 232
V. ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ..................232
§ 1. Предмет проективной геометрии.................232
§ 2. Теорема Дезарга. Построение гармонических групп элементов 238
§ 3. Порядок точек на проективной прямой .............251
§ 4. Разделенность гармонических пар; непрерывность гармонического соответствия........................259
§ 5. Аксиома непрерывности. Проективная система координат на
прямой................................266
§ 6. Проективная система координат на плоскости и в пространстве ..................................278
§ 7. Проективное соответствие между элементами одномерных многообразий ...............................291
§ 8. Проективное соответствие между многообразиями двух и трех
измерений ..............................301
§ 9. Аналитические представления проективных отображений. Инволюция ................................311
§ 10. Формулы преобразования проективных координат. Сложное
отношение четырех элементов...................328
§ 11. Принцип двойственности......................338
§ 12. Алгебраические кривые и пучки. Алгебраические поверхности и связки. Комплексная проективная плоскость и комплексное проективное пространство ...............352
§ 13. Образы второй степени. Теория поляр..............361
§ 14. Конструктивные теоремы и задачи проективной геометрии . . 377
VI. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИИ. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ..................................405
§ 1. Геометрия и теория групп.....................405
§ 2. Проективная группа и ее основные подгруппы.........410
§ 3. Геометрии Лобачевского, Римана и Евклида в проективной
схеме .................................423
VII. ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО............ 441
§ 1. Многомерное аффинное пространство..............441
§ 2. Евклидовы пространства и пространство Минковского .... 458
§ 3. Пространство событий специальной теории относительности . 473
III ГЕОМЕТРИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 491
VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕЕВКЛИДОВОЙ МЕТРИКИ .......................... 491
§ 1. Метрическая форма евклидовой плоскости...........491
§ 2. Вычисление расстояния между двумя точками на плоскости
Лобачевского.............................496
§ 3. Метрическая форма плоскости Лобачевского..........508
§ 4. Внутренняя геометрия поверхности и задача Бельтрами . . . 525
§ 5. Геометрия на поверхности постоянной кривизны........532
§ 6. Вывод основных метрических соотношений в геометрии Лобачевского ..............................545
IX. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ГЕОМЕТРИИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ ..............................................551
§ 1. Двумерные многообразия с дифференциально-геометрической
метрикой...............................551
§ 2. Параболические пространственные формы ...........560
§ 3. Эллиптические пространственные формы............567
§ 4. Гиперболические пространственные формы...........570
§ 5. Теорема Гильберта.........................576
Часть 1
Часть 2
