Федорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособие. - 2-е изд. испр. - М., 2003. - 328 с.
В основе учебного пособия лежит курс лекций, читаемый автором на механико-математическом факультете МГУ. Книга содержит в основном традиционный материал по программе курсов «Аналитическая геометрия» и «Линейная алгебра и геометрия». В отличие от известного учебника академика П.С. Александрова в настоящем пособии векторная алгебра строится на основе современного школьного курса геометрии с четким выделением используемых аксиом Эвклида, подробно исследуются плоские сечения поверхностей 2-го порядка, приведение матрицы оператора к жордановой форме основано на геометрическом подходе, даны элементы тензорной алгебры.
Для студентов вузов по специальностям «математика», «механика».
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................6
ЧАСТЬ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Векторы..............................7
§ 1. Предварительные теоретико-множественные понятия и факты 7
§ 2. Отрезок и полупрямая........................8
§ 3. Полуплоскость и полупространство........12
§ 4. Определение вектора............14
§ 5. Сложение векторов и умножение вектора на число .... 19
§ 6. Векторы на прямой............22
§ 7. Линейная зависимость ..........24
§ 8. Геометрический смысл линейной зависимости.....27
§ 9. Базисы и координаты............29
§ 10. Проекции и координаты...........30
§ 11. Определение скалярного произведения векторов и его свойства 36
§ 12. Скалярное произведение в координатах.......38
§ 13. Системы координат............40
Глава II. Уравнения прямой линии и плоскости......47
§ 14. Уравнения прямой линии на плоскости............47
§ 15. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости 50
§ 16. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат ................53
§ 17. Уравнения плоскости............55
§ 18. Взаимное расположение плоскостей. Полупространства ... 58
§ 19. Прямая в пространстве....................60
§ 20. Плоскость в пространстве с прямоугольной системой координат 61
Глава III. Преобразования координат. Ориентация. Векторное и смешанное произведения...........64
§ 21. Матрицы и операции над ними .... .64
§ 22. Переход от одного базиса к другому 67
§ 23. Переход от одной аффинной системы координат к другой . 69
§ 24. Ориентации прямой, плоскости, пространства ... 71
§ 25. Ориентированный объем параллелепипеда......72
§ 26. Векторное и смешанное произведения.......75
§ 27. Некоторые приложения векторного и смешанного произведений
к прямым и плоскостям в пространстве.......77
Глава IV. Линии второго порядка..........
§ 28. Алгебраические линии на плоскости. Квадратичные функции и
их матрицы...............81
§ 29. Ортогональные матрицы...........84
§ 30. Преобразования прямоугольных координат......86
§ 31. Ортогональные инварианты квадратичных функций .... 98
§ 32. Преобразование уравнения линии второго порядка при повороте осей координат......................89
§ 33. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду.................92
§ 34. Определение канонического уравнения линии второго порядка
по инвариантам........ . 93
§ 35. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы 97
§ 36. Фокальное свойство эллипса и гиперболы......101
§ 37. Кривые второго порядка в полярных координатах .... 103
§ 38. Пересечение линии второго порядка с прямой.....106
§ 39. Теоремы единственности для линий второго порядка 111
§ 40. Центры линий второго порядка.........113
§ 41. Асимптоты и сопряженные диаметры линий второго порядка 117
§ 42. Главные направления и главные диаметры линий второго порядка. Оси симметрии............122
§ 43. Расположение линий второго порядка.......126
Глава V. Аффинные преобразования..............132
§ 44. Преобразования.............132
§ 45. Определение и свойства аффинных преобразований . 132
§ 46. Аффинная классификация линий второго порядка .... 137
§ 47. Определение и свойства изометрических преобразований 140
§ 48. Классификация движений плоскости........142
Глава VI. Поверхности второго порядка.........146
§ 49. Основная теорема о поверхностях второго порядка . 146
§ 50. Эллипсоиды..............148
§ 51. Гиперболоиды..............151
§ 52. Конические сечения............155
§ 53. Параболоиды..............159
§ 54. Цилиндры...............161
§ 55. Аффинная классификация поверхностей второго порядка 164
Глава VII. Проективная плоскость..........167
§ 56. Пополненная плоскость и связка.........167
§ 57. Однородные координаты на проективной плоскости. Теорема
Дезарга................169
§ 58. Проективные системы координат.........175
§ 59. Проективные преобразования..........179
§ 60. Линии второго порядка в однородных координатах ... 182
§ 61. Проективная и проективно-аффинная классификации линий
второго порядка.............183
ЧАСТЬ II ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. Линейные пространства..................186
§ 1. Определение линейного пространства........186
§ 2. Линейная зависимость. Базисы. Размерность.....190
§ 3. Подпространства линейного пространства. Операции над ними 194
§ 4. Прямая сумма подпространств-.........198
§ 5. Линейные отображения и изоморфизмы.......201
Глава II. Сопряженные пространства.........204
§ 6. Определение и простейшие свойства сопряженных пространств 204
§ 7. Второе сопряженное пространство........205
§ 8. Аннуляторы и нулевые подпространства. Системы однородных
линейных уравнений............207
Глава III. Линейные операторы в линейном пространстве 211
§ 9. Матрица линейного оператора.........211
§ 10. Алгебра линейных операторов и алгебра матриц ... 214
§ 11. Инвариантные подпространства. Приводимые операторы 217
§ 12. Собственные векторы. Спектр оператора. Диагонализируемые
операторы...............219
§ 13. Характеристический многочлен оператора. Алгебраическая и
геометрическая кратности его корней.......221
§ 14. Нильпотентные операторы. Их характеристические многочлены 224
§ 15. Разложение вырожденного оператора в прямую сумму нильпо-
тентного и невырожденного..........227
§ 16. Единственность жордановой формы нильпотентного оператора 228
§ 17. Существование жорданова базиса для нильпотентного оператора 331
§ 18. Жорданова форма произвольного оператора.....254
§ 10. Теорема Гамильтона—Кэли .... ... 235
Глава IV. Билинейные и квадратичные функции......239
§ 20. Билинейные функционалы и их матрицы......239
§ 21. Ранг билинейного функционала. Левое и правое ядра . 242
§ 22. Квадратичные функции и полярные к ним билинейные функционалы ................244
§ 23. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа..............246
§ 24. Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции . 250
§ 25. Теорема Якоби о приведении квадратичной формы к каноническому виду..............252
§ 26. Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра. Определитель Грама. Неравенство Коши—Буняковского................255
Глава V. Эвклидовы пространства..........259
§ 27 Эвклидовы и нормированные пространства......259
§ 28. Длины и углы. Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации..............262
§ 29. Ортогональное дополнение. Общий вид линейного функционала в эвклидовом пространстве..........266
§ 30. Линейные отображения эвклидовых пространств. Изоморфизмы. Сопряженные операторы...........269
§ 31. Самосопряженные операторы..........271
§ 32. Изометрические операторы. Инвариантные подпространства.
Корни характеристического многочлена.......273
§ 33. Канонический вид изометрического оператора.....275
§ 34. Неотрицательные операторы...... ... 277
§ 35. Разложение произвольного оператора в композицию неотрицательного и изометрического..........279
§ 36. Квадратичные функции в эвклидовых пространствах 280
Глава VI. Точечные пространства...........283
§ 37. Аффинные и точечно-эвклидовы пространства.....283
§ 38. Плоскости в аффинных пространствах. Различные способы их задания................286
§ 39. Пересечение плоскостей. Их взаимное расположение 288
§ 40. Выпуклые множества в аффинных пространствах . 292
§ 41. Точки общего положения. Симплексы. Барицентрические координаты ...............296
§ 42. Аффинные отображения аффинных пространств. Разложение аффинного отображения точечно-эвклидова пространства в композицию изометрического и неотрицательного самосопряженного 298
§ 43 Классификация движений пространства.......302
§ 44. Поверхности второго порядка в трехмерном пространстве 305
Глава VII. Элементы тензорной алгебры.........309
§ 45. Тензоры. Запись в координатах.........309
§ 46. Операции над тензорами. Базис в пространстве тензоров 312
§ 47. Симметрическое и кососимметрические тензоры. Альтернирование ................213
§ 48. Внешнее умножение. Базис в пространстве кососимметрических тензоров................317
Предметный указатель . .............
