Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М., 2006. - 336 с.
В учебном пособии, представляющем собой изложение курса лекций, читаемых авторами на механико-математическом факультете МГУ, рассмотрены основные понятия теории топологических пространств: спектры, произведения и степени топологических пространств, пространства замкнутых и бикомпактных подмножеств, пространства отображений и др., и их приложения к другим областям математики.
Для студентов математических специальностей вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................ 6
Глава 1. Топологические пространства................. 9
§ 1. Топологические пространства и непрерывные отображения. . 9
§ 2. Аксиомы отделимости. Лемма Урысона. Теорема Брауэра-
Титце-Урысона о продолжении функций............... 14
§ 3.Метрические пространства. Полные и топологически полные пространства. Некоторые стандартные метрические пространства ...................................... 20
§ 4. Бикомпактные пространства. Лемма Александера. Теорема Вейерштрасса-Стоуна. Компактность в метризуемых пространствах ..................................... 30
Глава И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 40
§ 1. Определения произведения топологических пространств
и отображений.................................. 40
§ 2. Послойное и веерное произведение отображений и пространств ....................................... 42
§ 3. Теоремы Тихонова................................ 44
§ 4. Примеры топологических произведений и следствия из теорем Тихонова. Бикомпактные расширения.............. 49
§ 5. Операции над покрытиями. Нульмерные и п-мерные пространства ...................................... 56
§ 6. Диадические бикомпакты.......................... 63
Глава III ОБРАТНЫЕ СПЕКТРЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ 76
§ 1. Определение и элементарные свойства обратных спектров . . 76
§ 2. Связь спектров и произведений............................................86
§ 3. Теорема о спектральном представлении отображений............90
Глава IV ПРОСТРАНСТВА ЗАМКНУТЫХ ПОДМНОЖЕСТВ 95
§ 1. Верхний и нижний пределы последовательности множеств 95
§ 2. Предел сходящейся последовательности множеств..............99
§ 3. Топология Виеториса..........................................................100
§ 4. Пространство ехр X............................................................107
§5. Пространство замкнутых подмножеств бикомпакта..............108
§ 6. Пространство бикомпактных подмножеств............................109
§ 7. Метрика Хаусдорфа............................................................111
§ 8. Заключительные замечания..................................................115
Глава V ПРОСТРАНСТВО ОТОБРАЖЕНИЙ 117
§ 1. Метрика и норма равномерной сходимости..........................117
§ 2. Бикомпактно-открытая топология и топология поточечной
сходимости в пространстве непрерывных отображений..........119
§ 3. Бикомпактно-открытая топология пространства отображений
локально бикомпактного пространства..................................123
Глава VI МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 125
§ 1. Полунепрерывные снизу отображения..................................125
§ 2. Полунепрерывные снизу отображения с выпуклыми значениями......................................................................................127
§ 3. Симплициальные комплексы и нервы покрытий....................131
§ 4. Экви LС-семейства............................................................135
§ 5. Полунепрерывные снизу отображения в банахово пространство со значениями из экви LС-семейства..........................140
§ 6. Теорема о продолжении селекции для отображения со значениями из экви LС-семейства..........................................147
§ 7. Полунепрерывные сверху отображения................................151
§8. Связь с топологией Виеториса............................................154
Глава VII КОВАРИАНТНЫЕ ФУНКТОРЫ В КАТЕГОРИИ БИКОМПАКТОВ......................................................156
§ 1. Функторы экспоненциального типа......................................156
§2. Экспоненты канторовых дисконтинуумов............................160
§ 3. Пространство мер. Функторы вероятностных мер..................163
§ 4. Функтор суперрасширения..................................................175
§ 5. Нормальные и монадичные функторы..................................181
Глава VIII ПРОСТРАНСТВА ДУГУНДЖИ И ПРОСТРАНСТВА МИЛЮТИНА 194
§ 1. Теорема Хана-Банаха и тензорное произведение мер............194
§ 2. Регулярные операторы..........................................................197
§ 3. Операторы продолжения и усреднения..................................199
§ 4. Пространства Милютина...........................203
§5. Пространства Дугунджи и нуль-мягкие отображения......208
§6. Несовпадение классов Милютина и Дугунджи..........219
Глава IX ПРОСТРАНСТВА ЧАСТИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 225
§ 1. Пространства частичных отображений.................225
§2. Компактность в пространстве частичных отображений.....233
§ 3. Непрерывность зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных условий и правой
части.........................................241
§ 4. Сходимость последовательностей пространств решений .... 249
§ 5. Теорема Кнезера.................................254
§ 6. Автономные и близкие к ним пространства.............260
§ 7. Теорема о суш,ествовании стационарной точки...........266
§ 8. Теорема Пуанкаре-Бендиксона......................270
§ 9. Некоторые геометрические свойства пространств решений . . 277
§ 10. Заключительные замечания.........................280
Список литературы...................................283
