Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях / Пер. с англ. С.М.Львовского. — М., 2009.-184 с.
Эта небольшая монография посвящена самым разнообразным геометрическим и арифметическим свойствам алгебр кватернионов и октав (чисел Кэди). В числе прочего, излагаются общая теория композиционных алгебр и теория тройственности, рассказывается о связи октав с лупами Муфанг, изучаются свойства кватернионных и октавных аналогов гауссовых целых чисел. Значительная часть материала книги не была до сих пор отражена в литературе на русском языке.
Для студентов, аспирантов и научных работников.
Оглавление
Предисловие
Часть I. Комплексные числа
Глава 1. Введение 15
§ 1.1. Алгебра действительных чисел Е................................15
§ 1.2. Высшие размерности................................................17
§ 1.3. Ортогональные группы............................................18
§ 1.4. История кватернионов и октав..................................19
Глава 2. Комплексные числа и двумерная геометрия 23
§ 2.1. Повороты и отражения ............................................23
§ 2.2. Конечные подгруппы в GО2 и SО2..............................25
§ 2.3. Гауссовы целые числа..............................................26
§ 2.4. Клейновы целые числа ............................................28
Приложение. Двумерные пространственные группы..............29
Часть II. Кватернионы
Глава 3. Кватернионы и трехмерные группы 35
§ 3.1. Кватернионы и трехмерные повороты...... ..............35
§ 3.2. Немного сферической геометрии................................38
§ 3.3. Перечисление групп поворотов..................................40
§ 3.4. Обсуждение групп..................................................42
§ 3.5. Конечные группы кватернионов................................43
§ 3.6. Хиральное и ахиральное, диплоидное и гаплоидное ... 46
§ 3.7. Проективные, или эллиптические, группы....................47
§ 3.8. Проективные группы расскажут нам все......................48
§ 3.9. Геометрическое описание групп................................49
Приложение. Отображение v -> qvq является простым поворотом........................50
Глава 4. Кватернионы и четырехмерные группы 55
§ 4.1. Введение................................................................55
§ 4.2. Два отображения....................................................56
§ 4.3. Обозначения для групп............................................57
§ 4.4. Кокстеровские обозначения для групп многогранников . 59
§ 4.5. Более ранние классификации....................................62
§ 4.6. Замечание о хиральности..........................................63
Приложение. Полнота таблиц............................................64
Глава 5. Гурвицевы целые кватернионы 71
§ 5.1. Гурвицевы целые кватернионы..................................71
§ 5.2. Простые и единицы..................................................72
§ 5.3. Кватернионное разложение обычных простых чисел ... 74
§ 5.4. Задача о метакоммутировании..................................77
§ 5.5. Разложение липшицевых целых..................................78
Часть III. Октавы
Глава 6. Композиционные алгебры 83
§ 6.1. Свойства умножения................................................83
§ 6.2. Свойства сопряжения..............................................84
§6.3. Свойства удвоения..................................................85
§ 6.4. Завершение доказательства теоремы Гурвица..............86
§ 6.5. Другие свойства алгебр............................................88
§ 6.6. Отображения Lx, Rx и Вx..........................................89
§ 6.7. Координаты в кватернионах и октавах........................91
§ 6.8. Симметрии и октавы: диассоциативность....................92
§ 6.9. Алгебры над другими полями....................................92
§ 6.10. Тождества с одним, двумя, четырьмя и восемью
квадратами............................................................93
§ 6.11. Высшие тождества с квадратами: теория Пфистера ... 94
Приложение 1. О диксоновском удвоении............................96
Приложение 2. Что сохраняет кватернионную подалгебру? ... 97
Глава 7. Лупы Муфанг 99
§ 7.1. Лупы с обращением..................................................99
§7.2. Изотопии...............................100
§ 7.3. Монотопии и их сателлиты....................101
§ 7.4. Различные формы правил Муфанг...............104
Глава 8. Октавы и восьмимерная геометрия 107
§ 8.1. Изотопии и S08...........................107
§ 8.2. Ортогональные изотопии и группа Spin...........109
§ 8.3. Тройственность......................................................НО
§ 8.4. Семь правых как одно левое...................110
§ 8.5. Другие теоремы об умножении..................................112
§ 8.6. Три семимерные группы в одной восьмимерной......113
§ 8.7. О сателлитах..........................................................115
Глава 9. Октавные целые О 117
§ 9.1. Определение целости................................................117
§ 9.2. На пути к октавным целым....................118
§ 9.3. Решетка Е8 (Коркин, Золотарев, Госсет) ...........125
§ 9.4. Деление с остатком и идеалы..................128
§ 9.5. Разложение на множители в О8.................130
§ 9.6. Число разложений на простые .................134
§ 9.7. «Метазадачи» для разложения октав..............136
Глава 10. Автоморфизмы и подкольца в О 139
§ 10.1. 240 октавных единиц.......................139
§ 10.2. Два типа ортогональности...................140
§ 10.3. Группа автоморфизмов кольца О...............142
§ 10.4. Кольца октавных единиц....................145
§ 10.5. Стабилизаторы колец единиц..................147
Приложение. Доказательство теоремы 5...............152
Глава 11. Редукция О по модулю 2 155
§ 11.1. Зачем редуцировать по модулю 2?...............155
§ 11.2. Решетка Ев по модулю 2.....................156
§ 11.3. О стабилизаторе (Я)........................159
§ 11.4. Остальные подкольца по модулю 2..............164
Глава 12. Октавная проективная плоскость ОР2 167
§ 12.1. Исключительные группы Ли и «магический квадрат»
Фрейденталя.............................167
§ 12.2. Октавная проективная плоскость...............168
§12.3. Координаты на OP2........................170
Литература 173
Предметный указатель 177
