Лизунова Н. А., Шкроба С. П. Матрицы и системы линейных уравнений. Руководство к решению задач.- М., 2007. - 352 с.
Книга содержит разнообразный методический материал по линейной алгебре. В нее включены задачи с решениями, задачи для самостоятельной работы с ответами, а также контрольные задания. Наряду с алгоритмически-вычислительными задачами в пособии рассматривается много задач теоретического характера. Сознательное использование матриц небольшого размера привело к появлению большого числа новых интересных задач и новым решениям хорошо известных старых задач. Традиционные разделы линейной алгебры естественным образом дополнены клеточными матрицами, разностными и матричными уравнениями, конечными суммами и элементами метрической теории матриц. Уточнены некоторые алгоритмы матричной теории с методической точки зрения.
Учебное пособие является элементарным введением в теорию матриц и систем линейных уравнений и будет полезно студентам и преподавателям всех вузов, в которых кратко изучаются основы линейной алгебры.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................................................5
§1. Матрицы. Основные определения. Виды матриц. Действия
с матрицами..........................................................................7
1.1. Основные определения. Виды матриц........................................7
1.2. Линейные операции над матрицами..........................................16
1.3. Умножение матриц. Степень матрицы........................................18
1.4. Транспонирование матрицы......................................................30
1.5. След матрицы........................................................................33
1.6. Элементарные преобразования матриц. Приведение матриц к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований . . . . . 35
§2. Определители..........................................................................42
2.1. Определители матриц первого, второго и третьего порядка и их связь с операциями над матрицами, геометрический смысл и непосредственное вычисление определителей....................................42
2.2. Определители матриц n-го порядка. Определение и свойства. Методы вычисления..........................................54
§ 3. Обратная матрица. Линейные преобразования..........................77
3.1. Обратная и взаимная матрицы, их свойства................................77
3.2. Линейные преобразования........................................................95
§ 4. Разбиение матриц четвертого порядка на клетки второго порядка..........................................................................................107
§5. Ортогональные матрицы..........................................................133
§6. Ранг матрицы........................................................................147
6.1. Определение ранга матрицы....................................................147
6.2. Методы нахождения ранга матрицы..........................................156
6.3. Линейная зависимость и независимость строк и столбцов. Теорема
о ранге матрице. Теорема о базисном миноре..............................164
§ 7. Решение систем линейных уравнений........................................170
7.1. Основные понятия..................................................................170
7.2. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы
и по формулам Крамера..........................................................171
7.3. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о числе решений совместной системы. Метод Гаусса.............................. 175
7.4. Системы линейных однородных уравнений................. 191
§8. Собственные числа и собственные векторы квадратной матрицы. Нахождение степени квадратной матрицы второго порядка с помощью ее собственных чисел, приведение симметрической матрицы к диагональному виду........................ 200
8.1. Собственные числа и собственные векторы матрицы.......... 200
8.2. Нахождение степени квадратной матрицы второго порядка с помощью собственных чисел............................. 213
8.3. Приведение симметрических матриц второго и третьего порядка
к диагональному виду............................... 222
§ 9. Норма матрицы. Расстояние между матрицами............ 233
§ 10. О влиянии малых изменений коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы линейных уравнений на изменение ее решений, приближенное решение систем линейных уравнений методом итераций.............................. 244
10.1. О влиянии малых изменений коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы линейных уравнений на изменение ее решений........................................ 244
10.2. Решение систем линейных уравнений методом итераций....... 259
§11. Избранные матричные уравнения..................... 266
§ 12. Конечные суммы и их свойства. Разностные уравнения и конечные суммы. Функции от матриц, теорема Гамильтона-Кэли и разностные уравнения............................. 287
12.1. Конечные суммы и их свойства........................ 287
12.2. Линейные разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема Гамильтона-Кэли. Функции от матриц. 295
Ответы.............................................. 308
Приложение......................................... 319
Варианты контрольных работ............................ 319
Ответы к контрольным работам.......................... 345
Список литературы.................................... 349
