П. Ланкастер. Теория матриц.- М., Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1973. -280 с.
Книга предназначена быть основой для спецкурсов и справочным пособием для всех, интересующихся прикладными аспектами теории матриц. Ее можно
рассматривать как хорошее дополнение к обычному курсу линейной алгебры (первые две главы — изложение линейной алгебры на матричном языке).
Строгое изложение основ теории матриц сочетается в ней с обсуждением прикладных вопросов, отчасти классических, отчасти новых.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1
Линейные пространства, алгебра матриц и линейные алгебраические
уравнения
1.1. Связанные векторы в трехмерном пространстве 9
1.2. Пространства Rn и Cn 11
1.3. Внутренние произведения 14
1.4. Линейные комбинации 16
1.5. Матричная алгебра 17
1.6 Разбиения матриц 20
1.7. Вектор-столбцы и вектор-строки 23
1.8. Аннулируемое подпространство и область значений 25
1.9 Линейная зависимость и размерность 27
1.10. Свойства базисных векторов 32
1.11. Определение функции определителя 34
1.12. Свойства определителей 3 6
1.13. Присоединенная и обратная матрицы 3 9
1.14. Формула Бине — Коши 41
1.15. Ранг матрицы 44
1.16. Решение уравнений 48
1.17. Правило Крамера 51
Смешанные упражнения 52
Глава 2
Собственные значения и собственные векторы
2.1. Характеристическое уравнение 54
2.2. Кратность собственного значения 57
2.3. Собственные векторы 58
2.4. Преобразования подобия и простые матрицы 59
2.5. Спектральная теорема и многочлены от матриц 63
2.6. Ортогональные и квазиортогональные векторы 67
2.7. Ортонормированные системы 69
2.8. Специальные типы матриц 73
2.9. Эрмитовы матрицы 75
2.10. Унитарно подобные преобразования 79
2.11. Идемпотентные матрицы и проекции 82
2.12. Эрмитовы и квадратичные формы 85
2.13. Метод приведения Лагранжа 90
2.14. Определенные матрицы 93
2.15. Теория малых колебаний и одновременное приведение квадратичных 98
форм
2.16. Колебания с внешними силами 102
Смешанные упражнения 103
Глава 3 Вариационный метод
3.1. Введение 106
3.2. Экстремальные собственные значения и отношение Релея 106
3.3. Свойство стационарности отношения Релея 108
3.4. Вариационное описание собственных значений 110
3.5. Задачи со связями 111
3.6. Теорема Куранта — Фишера 113
3.7. Приложения к теории малых колебаний 118
Смешанные упражнения 120
Глава 4
Минимальный многочлен и нормальные формы
4.1. Введение 121
4.2. Алгебра А--матриц с 122
4.3. А--матрицы с матричными аргументами 125
4.4. Аннулирующие многочлены 128
4.5. Приведенная присоединенная матрица и минимальный многочлен 132
4.6. Элементарные операции и эквивалентность А--матриц 134
4.7. Приведение А--матриц эквивалентными преобразованиями к 137
простейшему виду
4.8. Эквивалентные преобразования матриц из F 140
4.9. Инвариантные многочлены и каноническая форма Смита 140
4.10. Подобие 143
4.11. Первая естественная нормальная форма 144
4.12. Элементарные делители над полем комплексных чисел 146
4.13. Вторая естественная нормальная форма и жорданова нормальная 149
форма
Смешанные упражнения 153
Дополнение к главе 4 154
Глава 5 Функции от матриц
5.1. Введение 156
5 2 Интерполяционные многочлены 156
5 3. Определение функции от матрицы 158
5.4. Спектральное разложение для f(A) 163
5.5. Свойства компонентных матриц 166
5.6. Последовательности и ряды матриц 170
5.7. Свойства некоторых элементарных функций 174
5.8. Использование контурных интегралов 175
5.9. Приложения к решению дифференциальных уравнений 178
Смешанные упражнения 182
Глава 6 Нормы векторов и матриц
6.1. Матричные нормы 185
6.2. Векторные нормы 190
6.3. Индуцированные матричные нормы 194
6.4. Абсолютные векторные нормы 199
6.5. Нижние грани 201
6.6. Поле значений 203
Глава 7
Теория возмущений и оценки для собственных значений
7.1 Возмущения в решении линейных уравнений 205
7.2. Теорема Гершгорина 203
7.3 Теорема Шура 212
7.4 Возмущение собственных значений простой матрицы 214
7.5. Аналитические возмущения 219
7.6. Возмущение компонентных матриц 220
7.7. Возмущение некратного собственного значения 223
7.8. Оценка коэффициентов возмущения 224
7.9. Возмущение кратного собственного значения 227
7.10. Редукционный процесс 232
Глава 8
Прямые произведения, решение матричных уравнений и задачи
устойчивости
8.1. Введение 231
8.2. Прямое произведение 235
8.3. Собственные значения составных матриц 237
8.4. Решение линейных матричных уравнений 239
8.5. Уравнение 240
8.6. Коммутирующие матрицы 242
8.7. Теория устойчивости Ляпунова 245
8.8. Критерий Рауса — Гурвица 248
Глава 9 Неотрицательные матрицы
9.1. Введение 255
9.2. Теорема Перрона — Фробениуса 257
9.3. Приводимые матрицы 262
9.4. Примитивные и импримитивные матрицы 264
9.5. Стохастические матрицы 266
9.6. Цепи Маркова 268
Дополнение 1. Некоторые теоремы из анализа 271
Дополнение 2. Обобщенная обратная матрица 273
Дополнение 3. Рекомендации для дальнейшего чтения 277
Алфавитный указатель 278
