Ляпин Е.С., Айзенштат А.Я., Лесохин М.М. Упражнения по теории групп. - М., 1967, 1967. - 264 с
Книга имеет своей целью способствовать изучению основных исходных положений, результатов и методов современной алгебры. В книге изучаются начальные разделы теории групп, излагаемые на базе общих понятий, что делает одновременно и более естественными основы самой теории групп и служит подходящим фундаментом для изучения иных алгебраических дисциплин.
В каждом разделе книги сначала в краткой форме сообщаются основные понятия. Затем приводятся примеры, конкретизирующие эти понятия. Путём последовательного выполнения ряда упражнений читатель сам приходит к доказательству ряда свойств данных понятий. Среди этих свойств встречаются такие, которые являются важными исходными теоретическими результатами в данной области, а также и менее значительные, но полезные вспомогательные свойства и, наконец, просто тренировочные упражнения. Для задач даются ответы. Для более трудных - указания, кратко намечающие путь решения.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..................................................................5
Глава I. Множества....................................................9
§ I. Исходные понятия теории множеств........................9
§ 2. Отображения множеств........................................15
§ 3. Бинарные отношения............................................20
§ 4. Умножение бинарных отношений............................26
Глава II Алгебраические действия общего типа............31
§ 1. Понятие алгебраического действия..........................31
§ 2. Основные свойства действий................................36
§ 3. Умножение подмножеств мультипликативного множества .................42
§ 4. Гомоморфизмы....................................................45
§ 5. Полугруппы .........................................50
§ б. Первоначальные понятия теории групп....................55
Глава III. Суперпозиция преобразований........................64
§ 1. Общие свойства суперпозиции преобразований .... 64
§ 2. Обратимые преобразования....................................73
§ 3. Обратимые преобразования конечных множеств . . .77
§ 4 Эндоморфизмы....................................................81
§ 5. Группы движений................................................87
§ 6. Частичные преобразования....................................92
Глава IV. Группы и их подгруппы................................98
§ 1. Разложение группы по подгруппе..........................98
§ 2. Отношение сопряженности в группах...........102
§ 3. Нормальные делители и фактор-группы..........106
§ 4. Подгруппы конечных групп.................111
§ 5. Коммутаторы и коммутант..................ИЗ
§ б. Разрешимые группы . . . ...................116
§ 7. Нильпотентные группы....................118
§ 8. Автоморфизмы групп........................122
§ 9. Транзитивные группы преобразований...........125
Глава V. Определяющие множества соотношений.....130
§ 1. Определяющие множества соотношений в полугруппах .................130
§ 2. Определяющие множества соотношений в группах . . 136
§ 3. Свободные группы.......................142
§ 4. Группы, заданные определяющими множествами соотношений ............................І46
§ 5. Свободные произведения групп...............151
§ 6. Прямые произведения групп.................154
Глава VI. Абелевы группы.....................160
§ I. Простейшие свойства абелевых групп...........160
§ 2. Конечные абелевы группы..................164
§ 3. Конечно порожденные абелевы группы..........167
§ 4. Бесконечные абелевы группы................170
Глава VII. Представления групп..................174
§ 1. Представления общего типа.................174
§ 2. Представления групп преобразованиями.........179
§ 3. Представления групп матрицами..............183
§ 4. Группы гомоморфизмов абелевых групп.........188
§ 5. Характеры групп........................192
Глава VIII. Топологические и упорядоченные группы. . . 194
§ 1. Метрические пространства..................194
§ 2. Группы непрерывных преобразований метрического
пространства...........................200
§ 3. Топологические пространства................204
§ 4. Топологические группы....................211
§ 5. Упорядоченные группы....................219
