Михалев А.В., Михалев А.А. Начала алгебры, часть I. - Интернет-университет информационных технологий, 2005. - 263 с.
Учебное пособие "Начала алгебры, часть I" содержит материал, обычно входящий в курсы высшей алгебры, линейной алгебры и геометрии, высшей математики по следующим разделам: алгебраические структуры, комплексные числа, системы линейных уравнений, подстановки, перестановки, матрицы, определители матриц, линейные пространства и линейные отображения. Особое внимание уделено алгебраическим алгоритмам. Рекомендовано для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям в области информационных технологий и математики.
Авторы многие годы читали этот спектр курсов на различных факультетах Московского университета (механико-математический факультет, химический факультет, биологический факультет, психологический факультет), а также в Московском государственном университете коммерции и в университете Гонконга (для математиков, физиков, химиков, актуариев, на факультете социальных наук).
Оглавление
Глава 1. Введение: основные алгебраические структуры 1
1.1. Алгебраические операции..................................2
1.2. Группоиды, полугруппы, моноиды........................2
1.3. Обобщённая ассоциативность 8
1.4. Отображения множеств....................................10
1.5. Инъективные, сюръективные, биективные отображения 11
1.6. Произведение отображений................................13
1.7. Моноид отображений множества..........................14
1.8. Характеризация инъективных, сюръективных и биективных отображений (в терминах произведений отображений)................................................14
1.9. Группы ......................................................17
1.10. Кольца........................................................28
1.11. Поля..........................................................34
1.12. Идеалы и гомоморфизмы колец ..........................36
1.13. Кольцо многочленов от одной переменной ..............38
Глава 2. Поле С комплексных чисел 55
2.1. Анализ ситуации............................................56
2.2. Построение поля комплексных чисел....................57
2.3. Сопряжение комплексных чисел..........................60
2.4. Полярные координаты точек плоскости (отличных от начала координат)..........................................63
2.5. Свойства модуля комплексных чисел ....................63
2.6. Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа ........................................................66
2.7. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме........................................................67
2.8. Геометрическая интерпретация обратного элемента
для Z = а + b є С......................................69
2.9. Комплексные корни n-й степени из единицы............76
2.10. Решение уравнений третьей и четвёртой степени ... 79
2.11. Основная теорема алгебры комплексных чисел
(теорема Гаусса, 1799 г.) ..................................81
Глава 3. Системы линейных уравнений 87
3.1. Совокупность решений системы линейных уравнений . 89
3.2. Эквивалентные системы линейных уравнений..........90
3.3. Метод Гаусса................................................91
3.4. Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)..................................92
3.5. Приведение системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду . . 94
3.6. Исследование ступенчатых систем линейных уравнений 97
3.7. Некоторые следствия из метода Гаусса..................101
3.8. Примеры применения метода Гаусса......................102
Глава 4. Линейное пространство строк над полем 105
4.1. Свойства операций..........................................106
4.2. Связь решений неоднородной системы линейных уравнений с решениями соответствующей однородной системы......................................................108
Глава 5. Подстановки, перестановки ПО
5.1. Запись подстановок. Перестановки........................111
5.2. Перестановки и транспозиции............................113
5.3. Разложение подстановок в произведение циклов с непересекающимися орбитами............................116
5.4. Чётность перестановок и подстановок....................118
5.5. Чётность произведения подстановок......................120
Глава 6. Определители квадратных матриц 123
6.1. Определители малых порядков............................123
6.2. Определители квадратных (n х n)-матриц..............125
6.3. Свойства определителя. Базовые свойства 1—4..........127
6.4. Вывод следствий из свойств 1—4..........................129
6.5. Линейная комбинация строк в линейном пространстве строк К....................................................131
6.6. Вычисление определителей................................133
6.7. Характеризация функции определителя матрицы базовыми свойствами......................................134
6.8. Сведение вычисления определителя к определителям меньшего порядка..........................................135
6.9. Определитель Вандермонда................................145
Глава 7. Линейные преобразования линейных пространств
столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей 149
7.1. Произведение линейных отображений....................153
7.2. Матрица произведения линейных отображений пространств столбцов......................................153
Глава 8. Алгебра матриц 156
8.1. Линейное пространство Мm,m(К) прямоугольных
матриц размера m х n......................................156
8.2. Произведение матриц......................................156
8.3. Матричные единицы Eij ..................................158
8.4. Ассоциативность произведения матриц..................162
8.5. Итоговая теорема об алгебре матриц ....................163
8.6. Многочлены от матриц, теорема Гамильтона—Кэли . . 169
8.7. Обратная матрица..........................................174
8.8. Нахождение обратной матрицы ......................180
8.9. Замечания об обратимом (биективном) линейном отображении................................................183
8.10. Матричное построение поля комплексных чисел .... 186
Глава 9. Линейные пространства 189
9.1. Вывод свойств линейного пространства из аксиом . . . 189
9.2. Линейная зависимость в линейных пространствах ... 191
9.3. Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис линейного пространства....................................196
9.4. Замечание о линейной выражаемости конечных
систем элементов в линейном пространстве ............198
9.5. Единственность главного ступенчатого вида матрицы . 202
9.6. Изоморфизм линейных пространств...........205
9.7. Замена базиса линейного пространства.........207
9.8. Обратимость матрицы перехода .............208
9.9. Замена координат элемента линейного пространства
при замене базиса.....................209
9.10. Линейные подпространства линейных пространств . . 211
9.11. Пересечение линейных подпространств..................212
9.12. Сумма линейных подпространств ........................212
9.13. Линейная оболочка элементов линейного пространства 213
9.14. Решётка подпространств линейного пространства . . . 216
9.15. Проективная размерность подпространств и проективная геометрия PG(kV)..........................218
9.16. Теорема о ранге матрицы..................................218
9.17. Размерность пространства решений однородной
системы линейных уравнений ..............225
9.18. Задание любого подпространства в кV = К- как пространства решений однородной системы линейных уравнений..........................227
9.19. Собственные числа и собственные векторы матрицы . 232
Список литературы 240
Указатель обозначений 252
Предметный указатель 254
