Нечаев В. И. Числовые системы. Пособие для студентов пед. ин-тов. М., 1975. - 199 с. с ил.
В этой книге глубокие математические идеи, с которыми студенты знакомятся в курсах математического анализа, алгебры и теории чисел, применяются для последовательного построения основных числовых систем — натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных, а также р-адических чисел и кватернионов.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ................................................3
§ 1. Введение..............................................4
§ 2. Системы с отношениями и алгебраическими операциями
2.1. Прямое произведение............... . 9
2.2. n-членные отношения и n-арные алгебраические операции 10
2.3. Отображения ........................................16
2.4. Системы с отношениями и операциями..................21
2.5. Полугруппы и группы ................................22
2.6. Полукольца, кольца, тела и поля............25
2.7. Векторные пространства и линейные алгебры.......31
2.8. Гомоморфизм и изоморфизм алгебраических систем ... 35
2.9. Отношение эквивалентности............................37
2.10. Расширения алгебраических систем ...............41
§ 3. Аксиоматические теории
3.1. Аксиоматическая теория................................43
3.2. Схема построения неформальной аксиоматической теории 44
3.3. Интерпретация и модель аксиоматической теории .... 44
3.4. Формулировка аксиоматической теории . ...............46
3.5. Свойства аксиоматических теорий........................47
3.6. Формальные аксиоматические теории ....................49
§ 4. Содержательная аксиоматическая теория натуральных чисел
4.1. Первичные термины ........ .................52
4.2. Аксиомы .......................53
4.3. Свойства сложения....................................53
4.4. Свойства умножения ...... .......... 55
4.5. Порядок во множестве натуральных чисел..............56
4.6. Свойства неравенств ......................58
4.7. Конечные множества .......................60
4.8. Сумма и произведение нескольких элементов полугруппы 63
4.9. Независимость аксиомы индукции и роль аксиомы индукции в обосновании теории неравенств, теории делимости и свойств арифметических действий..... 68
4.10. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел 72
4.11. Аксиома минимальности .............. 74
4.12. Непротиворечивость арифметики и другие вопросы ... 76
§ 5. Упорядоченные множества и алгебраические системы
5.1. Упорядоченные множества ............................78
5.2. Упорядоченные полугруппы .........................85
5.3. Упорядоченные полукольца ............................88
5.4. Линейно упорядоченные кольца и тела . ...............90
§ 6. Системы целых и рациональных чисел
6.1. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории целых чисел .............................95
6.2. Свойства целых чисел .................................96
6.3. Категоричность системы целых чисел ....................98
6.4. Непротиворечивость аксиоматической теории целых чисел 100
6.5. Первичные термины и аксиомы аксиоматической теории рациональных чисел ................ , . 102
6.6. Свойства рациональных чисел .............104
6.7. Категоричность аксиоматической теории рациональных чисел 106
6.8. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел ................................107
§ 7. Последовательности в нормированных полях
7.1. Нормированные поля ................ 110
7.2. Последовательности в нормированных полях ......112
7.3. Свойства последовательностей в нормированных полях ... 115
7.4. Последовательности элементов линейно упорядоченного поля .........................121
7.5. Последовательности элементов архимедовски линейно упорядоченного поля ....................122
§ 8. Система действительных чисел
8.1. Первичные термины и аксиомы теории действительных чисел 126
8.2. Свойства действительных чисел ............127
8.3. Систематические дроби как аппарат для представления действительных чисел .......... ........133
8.4. Категоричность аксиоматической теории действительных чисел ........................135
8.5. Непротиворечивость аксиоматической теории действительных чисел ........................136
8.6. Система р-адических чисел ..............139
8.7. Конечные и бесконечные цепные дроби.........143
§ 9. Система комплексных чисел, кватернионы и теорема Фробениуса
9.1. Первичные термины и аксиомы теории комплексных чисел 164
9.2. Свойства комплексных чисел 165
9.3. Категоричность аксиоматической теории комплексных чисел 166
9.4. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных
чисел ........................167
