Любарский М.Г. Векторная алгебра и ее приложения. - Харьков, 2010.
Учебное пособие для студентов и аспирантов математических, физических и технических специальностей.
Этот учебник возник на основе лекций по высшей математике, которые автор читал в начале нулевых годов на радио-физическом факультете Харьковского национального университета им. В.Н. Каразина. Автор хотел написать учебник «как лучше», и ему трудно судить, удалось ли это. Зато с уверенность можно сказаться, что получилось не «как всегда», хотя рассматриваемые темы вполне традиционные: векторные и евклидовы пространства, линейные отображения и матрицы, определители, системы линейных уравнений и аналитическая геометрия. Есть, по крайней мере, два важных отличия этого учебника от большинства подобных курсов.
Во-первых, автор стремился получить все результаты в многомерном случае, хотя всегда подробно обсуждаются двух-и трехмерные случаи. Особенно это относится к аналитической геометрии.
Во-вторых, используется понятие многомерного ориентированного объема. В традиционных курсах векторной алгебры определитель обычно вводится как некий сложный и непонятно откуда взявшийся алгоритм вычисления числа по квадратной матрице. Лишь потом студент осознает, что это понятие очень полезно, но не понимает, почему это так -геометрический смысл определителя, как правило, остается ему неизвестным. В предлагаемом учебнике определитель и алгоритм его вычисления теряют свою мистичность, так как выводятся (даже в многомерном случае) из простых геометрических соображений. Хотя на это уходят время и силы, зато потом не нужно доказывать свойства определителя - они очевидны и легко запоминаются.
Предлагаемый курс векторной алгебры преподавателю легко адаптировать под свою аудиторию. Можно отбросить некоторые темы, не входящие в учебный план, и отказаться от ряда доказательств, не содержащих идеи, необходимые для дальнейшего изложения (наиболее громоздкие из таких доказательств специально вынесены в дополнения). Главное - сохранить наглядный геометрический подход, который автор, как и многие другие, считает наиболее плодотворным в современной математике.
Оглавление
Предисловие...................................................................................................................................4
§ 1. Векторные пространства........................................................................................................5
1. Определение векторного пространства...............................................................................5
2. Полнота и независимость системы векторов. Базис векторного пространства..............8
3. Изоморфизм векторных пространств................................................................................12
4. Векторные подпространства и линейные оболочки........................................................16
Дополнение 1...........................................................................................................................21
Дополнение 2 ...........................................................................................................................21
§ 2. Евклидовы пространства.....................................................................................................23
1. Скалярное произведение.....................................................................................................23
2. Ортогональные базисы........................................................................................................26
3. Ортогональная проекция и ортогональные дополнения.................................................30
4. Координатный метод и решение простых геометрических задач..................................33
§ 3. Линейные отображения.......................................................................................................38
1. Основные определения.......................................................................................................38
2. Матрицы линейных отображений......................................................................................41
3. Системы линейных уравнений...........................................................................................45
4. Линейные преобразования..................................................................................................48
§ 4. Объем и ориентация.............................................................................................................51
1. Определение объема............................................................................................................51
2. Объем параллелепипеда......................................................................................................56
З.Ориентация базиса и ориентированный объем...................................................................58
§ 6. Решение систем линейных уравнений...............................................................................83
1. Формулы Крамера...............................................................................................................83
2. Метод обратной матрицы...................................................................................................84
3. Метод Гаусса (метод исключения неизвестных).............................................................86
4. Нахождение ранга матрицы и вычисление определителя методом Гаусса...................93
§ 7. Аналитическая геометрия....................................................................................................96
1. Геометрические объекты и уравнения..............................................................................96
2. Алгебраические линии, поверхности и гиперповерхности первого порядка................98
3. Пересечение гиперплоскостей общего положения........................................................103
4. Каноническое уравнение многомерной плоскости........................................................108
5. Стандартные геометрические задачи на плоскости и в пространстве.........................113
Дополнение 1.........................................................................................................................116
Дополнение 2.........................................................................................................................118
§ 8. Линии второго порядка, квадратичные формы и симметрические преобразования ...119
1. Эллипс и гипербола...........................................................................................................119
2. Приведение уравнения линии второго порядка к главным осям..................................123
3 . Симметрические преобразования...................................................................................126
4. Переход от одного базиса к другому...............................................................................132
5. Ортогональные преобразования.......................................................................................138
§ 9. Классификация линий второго порядка...........................................................................146
1. Классификация линий второго порядка, симметричных относительно начала координат...146
2. Классификация линий второго порядка, задаваемых уравнением общего вида.........148
3. Аффинная классификация гиперповерхностей второго порядка.................................150
4. Определение типа линии второго порядка без нахождения ее канонического уравнения.....156
Предметный указатель..............................................................................................................162
