Михелович Ш.Х. Теория чисел. Учебное пособие для физ.-мат. факультетов пед. институтов. - М.: Высш. школа, 1967. - 336с.
Книга написана в качестве учебного пособия по курсу теории чисел для физико-математических факультетов педагогических институтов и предназначается не только для студентов стационара, но и заочных факультетов. Поэтому изложение проводится по возможности в доступной форме, причем особое внимание уделяется разъяснению вводимых понятий. Материал книги в основном излагается в объеме, предусмотренном программой, и в той же последовательности. Несколько подробнее рассмотрены "Числовые функции". Это сделано потому, что эта область теории чисел, ярко свидетельствующая о большом вкладе в науку русской и советской математических школ теории чисел, очень богата интересными для учителя вопросами. В остальном материал, выходящий за рамки программы, дается, как правило, обзорно.
Во второе издание книги наряду с довольно многочисленными мелкими исправлениями и уточнениями внесен ряд более значительных изменений и дополнений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 9
Введение
§1. Предмет и основные разделы теории чисел 11
1. Предмет теории чисел (11). 2. Основные разделы теории чисел (11)
§2. Краткие сведения из истории развития теории чисел 13
1. От Пифагора до Ферма (13). 2. Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс (15). 3. XIX век. Развитие теории чисел в России (18). 4. Развитие теории чисел в XX веке. Советская школа теории чисел (20)
Глава I. Теория делимости
§1. Делимость, деление с остатком 23
1. Понятие делимости; свойства делимости (23). 2. Деление с остатком (24). Упражнения 1-5 (24)
§2. Наибольший общий делитель 25
1. Наибольший общий делитель двух чисел. Алгоритм Евклида (25). 2. Основные свойства Н.О.Д. двух и нескольких чисел (27). Упражнения 6-19 (28)
§3. Наименьшее общее кратное 29
1. Наименьшее общее кратное двух чисел (29). 2. Н.О.К. нескольких чисел (30). Упражнения 20-25 (31)
§4. Простые числа. Разложение на простые множители 31
1. Простые и составные числа; их основные свойства (31). 2. Основная теорема арифметики (32). 3. Решето Эратосфена (34). Упражнения 26-40 (35)
Глава II. Классы по данному модулю. Сравнения и классы
§1. Сравнения и их основные свойства 36
1. Понятие сравнимости и равносильные утверждения (36). 2. Основные свойства сравнений (38). Упражнения 41-50 (41)
§2. Классы по данному модулю 43
1. Разбиение множества целых чисел на классы (43). 2. Сложение и умножение классов (44). 3. Кольцо классов (45). Упражнения 51-57 (46)
§3. Системы вычетов
1. Полная система вычетов (47). 2. Признак полной системы вычетов (48). 3. Первая теорема о вычетах линейной формы (48). 4. Приведенная система вычетов. Функция Эйлера (49). 5. Признак приведенной системы вычетов (50). 6. Вторая теорема о вычетах линейной формы (50). Упражнения 58-66 (52)
§4. Основные свойства функции Эйлера 52
1. Мультипликативность функции Эйлера (52). 2. Формула для вычисления φ (m) (54). 3. Сумма значений функции Эйлера, распространенная по всем делителям данного числа (55). Упражнения 67-77 (56)
§5. Теоремы Эйлера и Ферма 57
1. Теорема Эйлера (57). 2. Теорема Ферма (58). 3. Применение теорем Эйлера и Ферма (59). Упражнения 78-88 (60)
Глава III. Сравнения с неизвестной величиной
§1. Классы решений сравнения произвольной степени 61
Упражнения 89 (63)
§2. Сравнения первой степени 64
1. Критерий разрешимости и число решений. Решение методом подбора (64). 2. Решение сравнения первой степени методом преобразования коэффициентов (66). 3. Решение сравнения первой степени при помощи теоремы Эйлера (67). Упражнения 90-94 (68)
§3. Правильные конечные цепные дроби 69
1. Выделение целой части (69). 2. Разложение в правильную цепную дробь (70). 3. Подходящие дроби; некоторые их свойства (75). Упражнения 95-102 (78)
§4. Решение сравнений первой степени с помощью цепных дробей 79
1. Вывод формулы решения (79). 2. Применение сравнений первой степени к решению неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными (81). Упражения 103-115 (82)
§5. Системы сравнений первой степени 82
1. Общий случай (82). 2. Случай попарно простых модулей (84). Упражнения 116-122 (87)
§6. Сравнение n-ой степени по простому модулю 87
1. Сведение к наиболее простому виду (87). 2. О максимальном числе решений (90). 3. Теорема Вильсона (93). Упражнения 123-130 (94)
§7. Сравнения n-ой степени по составному модулю 95
1. Приведение сравнения по составному модулю к системе сравнений по модулям попарно простым (95). 2. Приведение к сравнениям по модулю pa и к сравнениям по модулю p (98). Упражнения 131-138 (101)
§8. Сравнения второй степени и их связь с неопределенными уравнениями второй степени с двумя неизвестными (101). 2. Приведение сравнений второй степени к двучленным сравнениям (102). Упражнение 139 (105)
§9. Общие сведения о двучленных сравнениях второй степени по нечетному простому модулю 105
1. Число решений. Нахождение решений методом подбора. Число квадратичных вычетов (105). 2. Критерий Эйлера (107). Упражнения 140-146 (109)
§10. Символ Лежандра и его свойства (110). 2. Лемма Гаусса (115). 3. Доказательство свойства V символа Лежандра (117). 4. Доказательство закона взаимности (120). 5. Символ Якоби и его свойства (123). Упражнения 147-159 (124)
Глава IV. Степенные вычеты
§1. Показатели и их основные свойства 125
1. Число, принадлежащее показателю. Первообразный корень (125). 2. Классы, принадлежащие показателю (127). 3. Свойства системы чисел a0,a1 ... a-1 (127). 4. Необходимое и достаточное условие сравнимости a и a' по модулю m, если a принадлежит показателю b по модулю m (128). Упражнения 160-172 (130)
§2. Существование и число классов, принадлежащих показателю 131
1. Лемма о числе классов, принадлежащих показателю (по простому модулю p) (131). 2. Теорема о существовании и числе классов, принадлежащих показателю по простому модулю (133). Упражнения 173-184 (135)
§3. Инексы и их свойства
1. Понятие индекса. Основные свойства (136). 2. Таблицы индексов (139). Упражнения 185-190 (140)
§4. Применение индексов к решению сравнений 141
1. Решение двучленных сравнений (141). 2. Критерий разрешимости сравнений x= 0 (mod p) (143). 3. Решение показательных сравнений (144). Упражнения 191-198 (145)
Глава V. Арифметические приложения теории сравнений
§1. Вычисление остатков при делении на данное число. Установление признаков делимости с помощью сравнений 147
Упражнения 199-205 (150)
§2.Определение длины периода, получающегося при обращении обыкновенной дроби в десятичную 150
Упражнения 206-215 (157)
§3. Проверка результатов арифметических действий 159
Упражнения 216-218 (160)
Глава VI. Аппроксимация действительных чисел рациональными числами
§1. Представление иррациональных чисел правильными бесконечными цепными дробями 161
1. Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь (161). 2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей (167). 3. Единственность представления действительного иррационального числа правильной бесконечной цепной дробью (169). Упражнения 219-223 (171)
§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным ограничением для знаменателя 172
1. Постановка задачи (172). 2. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей дробью (172). 3. Приближение действительного числа подходящими дробями (173). 4. Теорема Дирихле (179). 5. Подходящие дроби как наилучшие приближения (183). Упражнения 224-233 (190)
§3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби 191
Упражнение 234 (196)
§4. Решение уравнения Пелля 196
Упражнение 235 (199(
§5. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида 199
Глава VII. Алгебраические и трансцендентные числа
§1. Иррациональные числа 205
1. Некоторые признаки иррациональности (205). 2. Иррациональность чисел e и π (207)
§2. Поле алгебраических чисел 210
1. Понятие алгебраического числа степени n (210). 2. Поле всех алгебраических чисел (211). 3. Целые алгебраические числа (213). 4. Значение законов взаимности. Общий закон взаимности (216). 5. Проблема Ферма (217). Упражнения 236-240 (221)
§3. Теорема Лиувилля (221). 2. Доказательство существования трансцендентных чисел (223). 3. Исследования трансцендентных чисел (223). 3. Исследования трансцендентности . Результаты Гельфонда (225). 4. Усиление неравенства Лиувилля. Приложение к решению неопределенных уравнений (227). Упражнение 241 (228)
Глава VIII. Числовые функции
§1. Число и сумма делителей данного числа 229
1. Формула для числа делителей данного числа (229). 2. Формула для суммы делителей данного числа (230). Упражнения 242-249 (231)
§2. Совершенные числа. Специальные простые числа 231
1. Определение совершенных и дружественных чисел (231). 2. Представление четных совершенных чисел. О нечетных совершенных числах (232). 3. Простые числа Мерсенна; их наибольшее известное значение (234). 4. Простые числа Ферма (235). 5. О числовых функциях, принимающих простые значения (237). 6. О критериях простых чисел и разложении на множители (239). Упражнения 250-254 (242)
§3. Функции [x] и {x} 242
1. Графики функций [x] и {x} (242). 2. Некоторые свойства функции [x] (243). 3. Вычисление показателя a, с которым простое число p входит в произведение n! (244). Упражнения 255-269 (245)
§4. Распределение простых чисел 246
1. Бесконечность множества простых чисел. Доказательство Евклида. Функция π(x) и ее график (246). 2. Оценка n-го простого числа, вытекающая из доказательства Евклида (248). 3. Существование любых отрезков натурального ряда,не содержащих простых чисел. Проблема простых чисел - «близнецов» (249). 4. Доказательство Эйлера бесконечности множества простых чисел (250). 5. Расходимость ряда величин, обратных простым числам. О «средней плотности» простых чисел (252). 6. Асимптотический закон распределения простых чисел (255). 7. Основные результаты деления простых чисел (255). 7. Основные результаты 1-го мемуара П. Л. Чебышева о простых числах (257). 8. Основные результаты 2-го мемуара П. Л. Чебышева о простых числах. Неравенство Чебышева и его упрощенное доказательство (263). 9. Оценка роста n-го простого числа на основании неравенства Чебышева (271). 10. О доказательствах закона распределения простых чисел (272). 11. Об оценках добавочного члена в приближенном представлении π(x) (274). 12. О распредлении простых чисел в арифметической прогрессии (276). Упражнения 270-275 (277)
§5. Аддитивные проблемы теории чисел 278
1. Примеры аддитивных задач: проблемы Гольдбаха - Эйлера, Варинга и Харди - Литлвуда (278). 2. Разложения на сумму квадратов (282). 3. О методе Л.Г. Шнирельмана (288). 4. О методе И.М. Виноградова (294). Упражнения 276-280 (301)
Указания и ответы к упражнениям 301
Таблицы индексов 327
Литература 334
