Мищенко А.С, Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — М., 2000. — 448 с.
Книга представляет собой курс дифференциальной геометрии, читаемый в течение двух семестров на математических факультетах университетов. Она содержит основной программный материал по общей топологии, нелинейным системам координат, теории гладких многообразий, теории кривых и поверхностей, группам преобразований, тензорному анализу и римановой геометрии, теории интегрирования и гомологиям, фундаментальным группам поверхностей, вариационным принципам в римановой геометрии.
Изложение иллюстрируется большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто содержащими дополнительный материал.
Для математиков и физиков — студентов, аспирантов, преподавателей и научных работников.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................................4
Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию ................6
§ 1. Криволинейные системы координат. Простейшие примеры ... 6
§ 2. Длина кривой в криволинейной системе координат ..............21
§ 3. Геометрия на сфере, плоскости ......................................35
§ 4. Псевдосфера и геометрия Лобачевского ............................43
Глава 2. Общая топология....................................................65
§ 1. Определения и простейшие свойства метрических и топологических пространств........................................................65
§ 2. Связность. Аксиомы отделимости....................................77
§ 3. Компактные пространства ............................................83
§ 4. Функциональная отделимость. Разбиение единицы................89
Глава 3. Гладкие многообразия (общая теория)......................95
§ 1. Понятие многообразия ................................................97
§2. Задание многообразий уравнениями..................................113
§ 3. Касательные векторы. Касательное пространство..................118
§ 4. Подмногообразия........................................................135
Глава 4. Гладкие многообразия (примеры) ............................155
§ 1. Теория кривых на плоскости и в трехмерном пространстве ... 155
§ 2. Поверхности. Первая и вторая квадратичные формы..............169
§ 3. Группы преобразований................................................207
§ 4. Динамические системы ................................................236
§ 5. Классификация двумерных поверхностей............................253
§ 6. Римановы поверхности алгебраических функций..................276
Глава 5. Тензорный анализ и риманова геометрия ..................300
§ 1. Общее понятие тензорного ПОЛЯ на многообразии ................300
§ 2. Простейшие примеры тензорных полей..............................306
§ 3. Связность и ковариантное дифференцирование....................327
§ 4. Параллельный перенос. Геодезические..............................339
§ 5. Тензор кривизны........................................................359
Глава 6. Теория гомологий ..................................................372
§ 1. Исчисление внешних дифференциальных форм. Когомологии . . 373
§ 2. Интегрирование внешних форм ......................................388
§ 3. Степень отображения и ее приложения ............................399
Глава 7. Простейшие вариационные задачи римановой геометрии ......................................................................407
§ 1. Понятие функционала. Экстремальные функции. Уравнение Эйлера ........................................................................407
§ 2. Экстремальность геодезических ......................................415
§ 3. Минимальные поверхности............................................424
§ 4. Вариационное исчисление и симплектическая геометрия .... 430
